Definisi unik untuk komponen analitik dari suatu fungsi yang ditentukan dalam anulus
Dalam bukunya "Analisis Kompleks" (5.1.3), ketika berbicara tentang deret Laurent, Ahlfors menunjukkan bahwa fungsi yang kompleks$f(z)$, yang analitik dalam anulus $R_1 < |z-a| < R_2$, dapat selalu ditulis sebagai
[...] jumlah $f_1(z) + f_2(z)$ dimana $f_1$ adalah analitik untuk $|z-a|<R_2$ dan $f_2$ adalah analitik untuk $|z-a|>R_1$ dengan singularitas yang dapat dilepas di $\infty$.
dimana
$$f_1(z) = \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta-a|=r} \frac{f(\zeta) d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $| za | <r <R_2$ } $$
$$f_2(z) = - \frac{1}{2\pi i} \int_{|\zeta - a|=r} \frac{f(\zeta)d\zeta}{\zeta-z} \text{ for $R_1 <r <| za |$}$$
Kemudian, sebagai nilai $r$adalah "tidak relevan selama ketidaksamaan terpenuhi" ,$f_1$ dan $f_2$ didefinisikan secara unik dan mewakili fungsi analitik dalam $|z-a|<R_2$ dan $|z-a|>R_1$masing-masing (lihat juga pertanyaan dan jawaban ini ).
Saya mencoba untuk memahami apa artinya itu $f_1$ dan $f_2$untuk didefinisikan secara unik . Bagaimana jika saya ambil, misalnya$f_3(z)=f_1(z)+z$ dan $f_4(z)=f_2(z)-z$? Sepertinya masih benar bagi saya itu$f_3(z) + f_4(z) = f(z)$ dan $f_3(z)$ bersifat analitik $|z-a|<R_2$, sementara $f_4(z)$ tampaknya analitik pada $|z-a|>R_1$ (meskipun tidak yakin apa yang bisa kita katakan pada tak terhingga; juga, saya tidak mengerti bagaimana saya bisa menulis $-z$ sebagai jumlah kekuatan negatif).
Saya menanyakan ini juga dalam terang apa yang Penrose katakan dalam bukunya "The road to reality" (9.3), ketika (menjelaskan pemisahan frekuensi pada bidang Riemann) dia berkata:
Kami memikirkan pemisahan kami $F(z)$ mengungkapkannya sebagai jumlah dari dua bagian, salah satunya meluas secara holomorfis ke belahan bumi selatan — disebut bagian frekuensi positif dari $F(z)$—Seperti didefinisikan oleh $F^\mathbf{+}(z)$, bersama dengan bagian apa pun dari suku konstan yang kita pilih untuk dimasukkan, dan yang lainnya, meluas secara holomorfis ke belahan bumi utara — disebut bagian frekuensi negatif dari $F(z)$ seperti yang didefinisikan oleh $F^\mathbf{-}(z)$dan sisa suku konstanta. Jika kita mengabaikan suku konstanta, pemisahan ini secara unik ditentukan oleh persyaratan holomorfisitas untuk perluasan ke salah satu dari dua belahan.
Sini $F(z)$adalah fungsi yang bersifat "holomorfik di beberapa wilayah terbuka termasuk lingkaran satuan" .
Jadi, dalam hal ini adalah $F^\mathbf{+}$ dan $F^\mathbf{-}$unik (terlepas dari suku konstan)? Apakah kemudian$F^\mathbf{-}=f_1$ dan $F^\mathbf{+}=f_2$? Mungkin ini juga bermula dari keunikan perkembangan Laurent$F$ (latihan dari Ahlfors, bagian yang sama), tetapi saya tidak dapat melihat caranya.
Terima kasih dan maaf atas pertanyaan konyol (mungkin)!
Jawaban
Fungsinya $f_2$ memiliki singularitas yang dapat dilepas di $\infty$. Artinya batasnya$\lim_{z\to\infty}f_2(z)$ ada (di $\Bbb C$). Jika$f_4(z)=f_2(z)-z$, maka tidak benar itu$\lim_{z\to\infty}f_4(z)$ ada (sekali lagi, dalam $\Bbb C$).