Definisi yang lebih umum tentang sumber dan sink untuk bidang vektor
Sejauh yang saya tahu, definisi sumber dan wastafel masing-masing diberikan dalam istilah operator divergensi.
Artinya, diberi bidang vektor $\vec{D}$, itu memiliki sumber yang tepat$P$ jika divergensi $\text{div}\vec{D}$ bersifat pozitive $P$atau tenggelam jika negatif. Misalnya, dalam elektromagnetisme, kata seseorang$\text{div}\vec{D} = \rho_v$ dimana $\rho_v$ adalah kepadatan muatan volume dan $\vec{D}$ adalah kerapatan fluks listrik.
Tapi katakanlah $\vec{D}$ diberikan oleh muatan titik positif $q$ berlokasi di $(0,0,0)$ yang menciptakan lapangan
$$\vec{D} = \text{const} \frac{\vec{R}}{|\vec{R}|^3}$$
dimana $\vec{R}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$.
Pada kasus ini, $\text{div}\vec{D}=0$ di mana-mana, namun asalnya adalah semacam sumber karena medan "muncul" dari sana dan fluks bersih di setiap permukaan yang menutupi muatan adalah positif.
Pertanyaan saya adalah: apakah ada definisi lain dari source and sink? Mungkin beberapa yang sedikit lebih umum dan mencakup kasus yang lebih khusus seperti yang terakhir saya sebutkan?
Jawaban
Saya pikir satu generalisasi intuitif berasal dari teorema divergensi! Yaitu, jika kita mengetahui bahwa bidang vektor memiliki divergensi positif di beberapa wilayah, maka integral di atas permukaan bola di sekitar wilayah itu akan bernilai positif. Itu mencakup contoh Anda, karena dengan begitu, kita tidak perlu melihat singularitas di$x = 0$, kami hanya melihat bola di sekitar singularitas itu!
Dilambangkan dengan $B_r(p)$ jari-jari bola terbuka $r > 0$ sekitar $p$, dan dilambangkan dengan $\partial B_r(p)$ permukaan batasnya.
Membiarkan $U \subset \mathbb{R}^n$ menjadi satu set terbuka, dan $p \in \mathbb{R}^n$ titik sehingga ada $\epsilon > 0$ sehingga bola $\partial B_r(p)$ terkandung di $U$ untuk semua $r < \epsilon$.
Diberikan bidang vektor kontinu $X : U \to \mathbb{R^n}$, kami mengatakan itu satu poin $p \in U$ adalah...
- ... sumber untuk$X$ jika ada $\epsilon > 0$ yang seperti itu $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy > 0 \quad \forall r < \epsilon.$$
- ... wastafel untuk$X$ adalah jika ada $\epsilon > 0$ yang seperti itu $$ \oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy < 0 \quad \forall r < \epsilon$$
Jika bidang vektor Anda dapat diperpanjang menjadi mulus di seluruh interior $B_r(p)$ dari bola $S_r(p)$, lalu teorema divergensi memberi tahu kita
$$\oint_{\partial B_r(p)} X(y) \, dy = \int_{B_r(p)} \text{div} X(y) \, dy,$$
dan kemudian definisi Anda menyiratkan yang satu ini, karena jika $\text{div} X(p) > 0$ dalam satu titik, maka dengan argumen kontinuitas akan ada bola utuh $B_r(p)$ di mana $\text{div} X > 0$.
Anda akan menemukan bahwa contoh Anda sangat cocok dengan definisi ini dan Anda dapat dengan mudah menghitung integral pada bola di sekitar nol, dan semuanya akan menjadi positif, meskipun Anda tidak pernah dapat menyentuh titik nol itu sendiri.
Saya tidak mengutip dari buku teks mana pun, jadi waspadalah, ini hanya pendapat saya sendiri tentang generalisasi yang masuk akal :)
EDIT: Alternatifnya adalah mengubah definisi divergensi, tetapi tetap menggunakan gagasan mengintegrasikan bola di sekitar titik, Lihat misalnya dalam pertanyaan dan jawaban ini.
Jika bidang vektor dapat diintegrasikan, Anda dapat memberikan definisi topologis yang lebih banyak.
Membiarkan $\vec{D}$ menjadi bidang vektor yang dapat diintegrasikan dan $d$fluksnya. Membiarkan$p$ seperti yang $\vec{D}(p)=0$.
$p$ adalah $\textit{sink}$ jika ada satu set terbuka $U$ mengandung $p$ seperti yang $\overline{d(U)} \subset U$.
$p$ adalah $\textit{source}$ jika ada satu set terbuka $U$ mengandung $p$ seperti yang $\overline{U} \subset {d(U)} $.