Dekomposisi spektral vs Ekspansi Taylor

Nov 30 2020

Pertanyaan ini dan komentar serta jawaban yang diterimanya mendorong saya untuk menanyakan pertanyaan ini, meskipun saya tahu bahwa akan ada sebagian orang yang menganggap ini termasuk dalam forum matematika. Tapi saya pikir topik ini lebih relevan bagi fisikawan matematika daripada ahli matematika murni.

Motivasi: Salah satu jawaban atas pertanyaan ini menjelaskan bahwa jika$f\colon\mathbb C\to\mathbb C$ adalah fungsi yang cocok dan $A\colon\text{Dom}(A)\subset H\to H$adalah operator yang cocok, kita dapat mendefinisikan \ begin {persamaan} f (A): = \ int _ {\ mathbb C} f \, \ mathrm {d} P_A \ end {persamaan} di mana$P_A\colon B(\mathbb C)\to B(H)$adalah ukuran. Namun, jauh lebih mudah untuk memahami definisi dalam istilah deret konvergen, misalnya dalam kasus eksponensial atau logaritma. (Dalam fisika statistik,$S=k_B\langle\ln\rho\rangle$ adalah entropi, saat $\rho$adalah operator kepadatan .) Itulah mengapa saya ingin tahu:

Apakah mungkin juga untuk menulis $f(A)$ dalam hal seri konvergen saat $f$memiliki ekspansi taylor di sekitar beberapa titik?

Jika jawabannya ya, saya juga bertanya-tanya apakah ada cara yang relatif mudah untuk melihat bagaimana integral dan deret itu setara. (Sejauh yang saya tahu, integral - genap$\int_{\mathbb C}f\,\mathrm{d}P_A$ - Dapat dinyatakan sebagai batas dari beberapa seri, jadi mungkin itu akan menjadi titik awal yang baik).

Contoh: Ekspresi \ begin {persamaan} \ sum_ {n = 0} ^ \ infty \ frac {1} {n!} A ^ n \ end {persamaan} masuk akal setiap kali$A$ adalah elemen ruang bernorma lengkap dan menyatu $\mathrm{e}^A=\int_{\mathbb C}\text{exp}\,\mathrm{d}P_A$ kapan $A$adalah operator yang cocok ( sumber ).

Bahkan diketahui bahwa \ begin {persamaan} \ kiri (\ sum_ {k = 1} ^ N (-1) ^ {k + 1} \ frac {(A- \ text {id}) ^ k} {k} \ kanan) _ {N \ in \ mathbb N} \ end {persamaan} menyatu$\text{ln}(A)$dalam keadaan tertentu (lihat di sini dan di sini ), jadi saya bertanya-tanya apakah ada aturan umum. Artinya, jika kita memiliki \ begin {persamaan} f (x) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (xb) ^ n, \ end {persamaan} di lingkungan$b$, apakah \ begin {persamaan} f (A) = \ sum_ {n = 0} ^ {\ infty} a_n (Ab \ cdot \ text {id}) ^ n? \ end {persamaan}

Jawaban

9 ValterMoretti Dec 01 2020 at 01:17

Jika operator $A$ Milik $B(H)$ (ruang operator yang dibatasi di mana-mana di ruang Hilbert $H$) dan normal: $$A^*A=AA^*$$ kemudian ia mengakui dekomposisi spektral $$A = \int_{\mathbb{C}} z dP(z) = \int_{\sigma(A)} z dP(z)$$ dan, dengan notasi yang jelas, $|\sigma(A)| \leq ||A|| <+\infty$.

Dalam kasus ini (dan juga dalam kasus umum di mana $A$ tidak dibatasi (ditentukan dengan rapat, tertutup, normal)), $$f(A) := \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ untuk setiap fungsi Borel yang dapat diukur $f: \sigma(A) \to \mathbb{C}$. Dalam hal ini jawabannya relatif mudah.

Proposisi .

Membiarkan $A \in B(H)$ bersikaplah normal dan pertimbangkan $f: \Omega \to \mathbb{C}$ fungsi analitik pada set terbuka $\Omega \subset \sigma(A) \subset \mathbb{C}$.

Jika $z_0 \in \Omega$ dan perluasan Taylor $f$ sekitar $z_0$ $$f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n (z-z_0)^n$$ memiliki radius konvergensi $R+\epsilon$ untuk beberapa $\epsilon>0$, dan akhirnya $$\sigma(A) \subset C_R(z_0):= \{ z\in \mathbb{C}\:|\: |z-z_0| <R\}$$ kemudian $$f(A) = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n$$ di mana konvergensi sisi kanan berada dalam norma $B(H)$.

BUKTI . Kami mulai dari ketimpangan $$||\int_{\mathbb{C}} g(z) dP(z)|| \leq ||g||_\infty$$ yang valid jika $g$adalah Borel-terukur dan dibatasi. Ketidaksetaraan ini tetap berlaku meskipun$A$ tidak dibatasi.

Memanfaatkan ketidaksetaraan yang kita miliki $$\left|\left|\int_{\sigma(A)} \left[\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right] dP(z)\right|\right| \leq \sup_{z\in \sigma(A)}\left|\sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n - f(z)\right| \to 0$$ untuk $N\to +\infty$karena konvergensi ekspansi Taylor seragam di setiap kompak di disk konvergensi. Perhatikan itu$\sigma(A)$ memang termasuk kompak di dalamnya $C_{R+\epsilon}(z_0)$.

Menggunakan definisi $g(A)$, oleh karena itu kami memilikinya $$\int_{\sigma(A)} \sum_{n=0}^N a_n(\lambda -\lambda_0)^n dP(z) \to \int_{\sigma(A)} f(z) dP(z)$$ sehubungan dengan norma $B(H)$. Dengan kata lain, jika$N\to +\infty$ $$\sum_{n=0}^{+\infty} a_n (A-z_0I)^n = f(A)$$ dalam topologi itu. Itulah tesisnya. QED

Ada hasil lain yang dapat dibuktikan secara analogi dan mencakup kasus $A$tidak terbatas (ditentukan dengan rapat, tertutup, dan normal). Jika $\psi$ termasuk dalam ruang proyeksi $\int_{E} 1 dP(z)$, dimana $E \subset C_{R}(z_0)$ adalah set Borel terbatas (sehingga $\psi$ adalah vektor analitik dari $A$), kemudian $$f(A)\psi = \sum_{n=0}^\infty a_n (A-z_0)^n\psi$$ di mana sekarang konvergensinya berada dalam norma ruang Hilbert.