Distribusi normal bersyarat [duplikat]

Question

Saya cari distribusi normal bivariat bersyarat. Ada dua variabel normal dependen dengan distribusi yang sama dan koefisien korelasi$\rho$: $X,Y \sim N(\mu, \sigma^2)$. Saya ingin mendapatkan$P(X|Y>M)$.

Saya menemukan ekspektasi bersyarat $X$ mengingat bahwa $Y$ lebih besar dari $M$: $E(X|Y>M)= \mu + \rho \sigma \frac{\phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}{1-\Phi(\frac{M-\mu}{\sigma})}$.

Tapi apa varians kondisional $var(X|Y>M)$? Apakah itu$(1-\rho^2)\sigma^2 $, seperti halnya dalam kasus $var(X|Y=M)$, di mana varians tidak bergantung $M$?

Dan adalah distribusi bersyarat $N(E(X|Y>M),var(X|Y>M))$?

Answer 1

Varians bersyarat bergantung pada $M$.

Saya tidak dapat menemukan bentuk tertutup untuk varians bersyarat, tetapi saya dapat menemukan bentuk tertutup untuk kerapatan. Saya menemukannya dengan memulai dengan fungsi distribusi kumulatif bersyarat menggunakan definisi probabilitas bersyarat, kemudian dibedakan untuk mencari kerapatan bersyarat.

Kepadatan menggunakan form input Mathematica adalah:

(((mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] - 
  ((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)*Erf[Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))]/Sqrt[2]])/Sqrt[-((M + mu*(-1 + rho) - rho*t)^2/((-1 + rho^2)*s^2))] + 
  (1 + Erf[Sqrt[(2*s^2 - 2*rho^2*s^2)^(-1)]*(mu - mu*rho + rho*t)])/Sqrt[(s^2 - rho^2*s^2)^(-1)])/(2*E^((mu - t)^2/(2*s^2))*Sqrt[2*Pi]*Sqrt[(1 - rho^2)*s^4]*(1 - Erfc[(-M + mu)/(Sqrt[2]*s)]/2))

Rumus Anda untuk mean bersyarat sudah benar.

Saya tahu bergantung pada varians bersyarat $M$ karena saya menghitungnya dengan integrasi numerik.