Ekspresi analitis untuk potensi kisi atom "muffin-tin" untuk keperluan ilustrasi dan perhitungan hamburan sederhana

Dec 03 2020

Sebelum menyelam lebih dalam (lihat pertanyaan terkait di bawah) untuk menghitung difraksi 20 hingga 200 eV elektron dari permukaan kristal, saya ingin menghasilkan "potensi muffin-tin" sederhana (lihat di bawah) dari beberapa pendekatan analitik sederhana yang secara kasar cocok dengan apa yang dapat dihitung sebagai potensial elektrostatis yang dirasakan oleh sebuah elektron insiden melewati atom berukuran sedang (hidrogen << atom << uranium) yang tersusun dalam kristal.

Saya dapat mulai mempelajari cara menghitung pergeseran fasa dan distribusi sudut dengan ini.

Perkiraan Muffin-tin Wikipedia berbicara tentang ini tetapi tidak menawarkan persamaan apa pun di luar kendali.

Perkiraan orde nol akan menjadi muatan titik positif inti dan bola seragam muatan negatif dan saya pasti bisa mulai dengan itu; dengan argumen keseragaman yang tidak jelas berdasarkan prinsip pengecualian. Sebuah "potensial dalam" datar dari 5 sampai 15 eV sering diasumsikan antara atom dalam konteks ini. Pada jarak kecil itu harus diratakan karena dekat nukleus ia menuju tak terbatas.

Pertanyaan: Tetapi apakah ada perkiraan yang lebih baik dari yang tersedia?

Penampang melintang melalui "loyang satu muffin" yang terbuat dari seragam $r = 1$bola elektron dan inti titik, diratakan secara sembarangan di bagian bawah. Ini akan diatur di ruang angkasa di setiap lokasi atom dan potensial konstan akan mengisi ruang di antara mereka.

Tujuan jangka panjang hanya untuk latar belakang:

Tinjauan tentang bagaimana simulasi difraksi elektron berenergi rendah dinamis yang konsisten dilakukan
Apakah metode Domain Waktu Beda Hingga membuat terobosan ke dalam simulasi dinamis hamburan elektron dan / atau sinar-X oleh kristal?
Simulasi pola difraksi elektron energi rendah (LEED)

Jawaban

7 wyphan Dec 04 2020 at 02:43

Metode Augmented Plane Wave (APW), dan dengan ekstensi metode Linearly-Augmented Plane Wave keduanya merupakan generalisasi dari Muffin Tin Approximation.

Dalam metode APW dan LAPW, potensi $V(r)$ didefinisikan sebagai fungsi pemenggalan [1] dengan parameter tunggal: jari-jari muffin-tin $r_\mathrm{MT}$. $$ V(r) = % \begin{cases} \sum_{lm} V_{lm} (r) Y_{lm} (\hat{r}) & r < r_\mathrm{MT} & (\mathrm{core}) \\ V_K e^{i K r} & r > r_\mathrm{MT} & (\mathrm{interstitial}) \end{cases}$$

Nilai-nilai potensi $V(r)$, fungsi gelombang $\phi(r)$, dan kerapatan elektronik $\rho(r)$ cocok dengan $r = r_\mathrm{MT}$ untuk memastikan bahwa turunan ada untuk masing-masingnya.

Ilustrasi berikut ini dari Singh & Nordstrom (2006) [2],

Dalam menyelesaikan persamaan Schrödinger non-relativistik, buku yang sama menjelaskan hal berikut pada bab. 5, hal. 63.

Persamaan diferensial ini [persamaan Schrödinger radial] dapat diselesaikan pada mesh radial menggunakan standar, misalnya metode prediktor-korektor.

Pada pencocokan dua bagian bagian (bab 4, hlm. 44):

Memperhatikan bahwa dari persamaan Schrödinger, $$ (E_2 - E_1) ~ r ~ u_1 (r) ~ u_2 (r) = u_2 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_1(r) }{\mathrm{d}r^2} - u_1 (r) ~ \frac{ \mathrm{d}^2 ~ r ~ u_2(r) }{\mathrm{d}r^2} $$ dimana $u_1 (r)$ dan $u_2 (r)$ adalah solusi radial pada energi yang berbeda $E_1$ dan $E_2$. Tumpang tindih dibangun menggunakan relasi ini dan diintegrasikan oleh bagian-bagian; istilah permukaan lenyap jika salah$u_1 (r)$ atau $u_2 (r)$ menghilang di batas bola, sedangkan istilah lainnya dibatalkan.

Bagaimanapun, saya pribadi tidak berpikir menyelesaikan persamaan Schrödinger radial terlalu mahal secara komputasi, mengingat keadaan komputer saat ini. Tetapi jika Anda ingin menghindarinya dengan cara apa pun, ada model Kronig-Penney , yang jauh lebih sederhana dengan mengorbankan keakuratan.