Evaluasi$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx dimana [x] menunjukkan fungsi integer terbesar dan $0<\sigma<1$
Evaluasi$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx dimana [x] menunjukkan fungsi integer terbesar dan $0<\sigma<1$.
Percobaan saya: - 1- (x- [x])$\leq 1 \Rightarrow$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx $\leq$ $\int_{1}^{\infty}$ $\frac {1}{x^{2-\sigma}}$dx = $\frac{1}{1-\sigma}$
$\int_{1}^{\infty}$ $\frac{1-(x-[x])}{x^{2-\sigma}}$dx = $\int_{1}^{2}$ $\frac{1-(x-1)}{x^{2-\sigma}}$dx +$\int_{2}^{3}$ $\frac{1-(x-2)}{x^{2-\sigma}}$dx + ... Tetapi pada integrasi saya tidak mendapatkan nilai yang terbatas.
Jawaban
Mencoba melanjutkan perjalanan Anda.
Kau menulis $$\int_1^\infty(1-x+\lfloor x\rfloor )\, x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\sum_{n=1}^\infty I_n$$ $$I_n=\int_n^{n+1}(n+1-x)\,x^{\sigma -2}\,dx=\frac{ (n+\sigma )n^{\sigma }-n (n+1)^{\sigma }}{n (1-\sigma) \sigma }=\frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma } } {(1-\sigma)\, \sigma }$$ dan di sini masalahnya mulai sulit jika Anda tidak terbiasa dengan fungsi zeta.
Berharap itu Anda, hasilnya seharusnya $$\frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }$$
Ini bukan jawaban lengkap, tapi semoga bisa memberikan sedikit wawasan:
Membiarkan $f(x) = \frac{1-(x-\lfloor x\rfloor)}{x^{2-\sigma}}$, lalu sebagai $0\leqslant x-\lfloor x\rfloor<1$ dan $x^{2-\sigma}>0$, $f$ tidak negatif $[1,\infty)$. Oleh karena itu dengan teorema Tonelli, $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \int_1^\infty \sum_{n=1}^\infty f_n(x)\ \mathsf dx = \sum_{n=1}^\infty \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx, $$ dimana $f_n(x) = f(x)\cdot\mathsf 1_{[n,n+1)}$. Dengan induksi (bagian yang sulit), kita bisa menunjukkannya $$ \int_n^{n+1} f_n(x)\ \mathsf dx = \frac{n^{\sigma -1} (n+\sigma )-(n+1)^{\sigma }}{\sigma(1-\sigma)}. $$ Karenanya $$ \int_1^\infty f(x)\ \mathsf dx = \frac{1+\sigma\, \zeta (1-\sigma ) } {(1-\sigma) \,\sigma }, $$ dimana $$ \zeta(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} $$ adalah fungsi Riemann zeta.