Fungsi nilai riil terikat pada $[0,1]$, tidak dapat diintegrasikan?
Apakah fungsi seperti itu ada? Jika ya, itu pasti kasus yang sangat patologis. Saya berbicara di sini tentang keterpaduan Lebesgue.
Misalnya, jika $f(x)=1$ jika $x$ rasional dan nol sebaliknya $\int_0^1 f(x)dx = 0$. Jadi, Anda perlu menemukan contoh yang lebih patologis dari itu. Contoh yang mungkin adalah sebagai berikut.
Membiarkan $f(x)$ menjadi realisasi variabel acak Gaussian $Z_x$ dengan mean sama dengan $0$ dan varians sama dengan $1$. Mari kita asumsikan bahwa$Z_x$didistribusikan secara identik dan independen. Fungsi seperti itu$f(x)$tidak ada tempat terus-menerus, dan dapat dilihat sebagai realisasi white noise. Namun, Anda dapat membantah bahwa integralnya pada$[0,t]$ adalah nilainya $B(t)$ dari realisasi gerakan Brown yang dimulai dengan $B(0)=0$, dan diukur pada waktunya $t$. Jadi$\int_0^1 f(x) dx = B(1)$. Perhatikan bahwa gerakan Brown tidak dapat dibedakan, jadi mungkin ada kontradiksi dalam apa yang saya katakan di sini.
Bagaimanapun, saya tidak pernah menemukan contoh tandingan: fungsi yang dibatasi $[0, 1]$tetapi tidak dapat diintegrasikan dalam interval tersebut. Bisakah Anda menunjukkan contoh?
Jawaban
Membiarkan $f$ menjadi fungsi yang dibatasi $[0,1]$.
Antara $f$ dapat diukur, dan kemudian $$ \int_0^1 |f| ≤ \sup |f|\ \int_0^1 1\,\mathrm d x = \sup |f| < \infty $$ begitu $f$ dapat diintegrasikan.
Antara $f$tidak dapat diukur. Ini ada jika Anda mengasumsikan aksioma pilihan. Anda kemudian dapat mengambil set yang tidak dapat diukur$\Omega$ dan ambil $f = \chi_\Omega$fungsi karakteristik dari himpunan ini, seperti yang disarankan oleh Nate Eldredge. Kemudian menurut definisi, fungsi ini tidak dapat diintegrasikan.