Fungsi Pembangkitan Sederhana Tidak Bekerja Seperti Saya Menafsirkannya?

Question

Misalkan kita membiarkan A menjadi semua urutan nol dan satu, dengan fungsi pembangkit $F (z) = 1/(1 − 2z)$.

Sekarang misalkan kita dapat melampirkan satu atau dua prima ke masing-masing $0$ atau $1$, memberi $0′$ atau $0′′$ atau $1′$ atau $1′′$, dan kami menginginkan fungsi pembangkit untuk jumlah string-bit prima yang berbeda dengan $n$ bilangan prima terpasang.

Set { $’$, $’’$} memiliki fungsi pembangkit $G(z) = z + z^2$ jadi himpunan komposit memiliki fungsi pembangkit $$F (G(z)) = 1/(1 − 2(z + z^2 ))= 1/(1 − 2z − 2z^2 )$$

Dalam hal ini, ketika saya mengekstrak koefisien $z^2$, Saya mendapat $6$, tetapi ketika saya menghitung tangan harus ada $12$. saya mendapatkan$6$ dari $1 + 2(z + z^2 )+ 4(z + z^2 )^2$, dan $12$ berasal dari setiap opsi sebagai permulaan yang memiliki dua opsi untuk waktu sekunder $n = 2$.

Saya bingung mengapa saya mendapatkan $6$, karena ketika saya menghitung sendiri, saya dapat berpasangan $(0,0’’), (0,1’’), (1,1’’), (1,0’’), (0’ ,0’), (0’ ,1’), (1’ ,1), (1’ ,0), (0’’ ,0), (0’’ ,1), (1’’ ,1), (1’’ ,0)$ yang mana $12$

Saya mungkin salah menafsirkan apa yang seharusnya n itu? Saya pikir itu seharusnya sama dengan bobot istilah itu$z^2$ pasti akan $n=2$?

Atau saya salah mengartikan apa yang menghitung fungsi pembangkit ini?

Answer 1

$G(z)$ bukan GF untuk $\{',''\}$ karena itu bukan angka atau urutan.

$G(z)=z+z^2$ adalah GF untuk $a_1=1, a_2=1, a_n=0, n\ge2$.

GF Anda adalah A002605 ,$a_n = 2(a_{n-1} + a_{n-2})$.