$G$ adalah titik di dalam segitiga $ABC$ seperti yang $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dimana $[XYZ]$ adalah luas $XYZ$. Menunjukkan bahwa $G$ adalah sentroid dari $ABC$.

Question

Membiarkan $G$ menjadi titik di dalam segitiga $ABC$ seperti yang $[GBC]=[GCA]=[GAB]$, dimana $[XYZ]$ adalah luas segitiga $XYZ$. Menunjukkan bahwa$G$ adalah pusat dari segitiga $ABC$.

Upaya saya : Sejak itu$[GBC]=[GCA]=[GAB]$, jadi kita punya $CG$, $AB$ dan $GB$, adalah $3$ median, jadi $G$ adalah sentroid dari $ABC$.

Saya tidak yakin tentang itu.

Answer 1

Membiarkan $CG\cap AB=\{C_1\}$, $BG\cap AC=\{B_1\},$ $AG\cap BC=\{A_1\}$,

$S_{\Delta AGC}=S_{\Delta AGB}=S_{\Delta CGB}=s$, $S_{\Delta GBA_1}=a_2$ dan $S_{\Delta GCA_1}=a_1.$

Jadi, $$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{a_2}{a_1}=\frac{s+a_2}{s+a_1},$$ yang memberikan $$a_1=a_2$$ dan dari sini $A_1$ adalah titik tengah dari $BC$.

Bisakah kamu mengakhirinya sekarang?

Answer 2

Tidak juga, kecuali segitiga $ABC$ sama sisi.

Tetapi ini menunjukkan garis penalaran jika Anda dapat menggunakan transformasi affine. Kami memiliki fakta-fakta berikut:

1. Di bawah transformasi affine, rasio antara dua area adalah konstan.

2. Jika $(ABC)$ dan $(A'B'C')$ adalah dua segitiga non-degenerasi, lalu ada transformasi affine yang memetakan satu sama lain.

Akibatnya, untuk menyelesaikan soal secara umum, cukup dengan menyelesaikannya untuk segitiga sama sisi. Dan begitulah.

Answer 3

Ada bukti yang mudah jika Anda mengetahui koordinat barycentric .

Singkat kata, koordinat barycentric suatu titik $M$ interior ke segitiga $ABC$ adalah sistemnya $(w_A,w_B,w_C)$ dari $3$ angka (disebut "bobot") untuk ditempatkan pada simpul $A,B,C$ untuk mendapatkan pusat massa di $M$.

Ada cara mudah untuk menemukan bobot ini (yang disebut interpretasi areal koordinat barycentric):

$$w_A=[MBC], \ \ w_B=[AMC], \ \ w_C=[ABM]\tag{1}$$ (https://www.scratchapixel.com/lessons/3d-basic-rendering/ray-tracing-rendering-a-triangle/barycentric-coordinates),

Catatan: Menurut definisinya, koordinat barycentric adalah unik, hingga multiplier; pengganda yang paling umum adalah$1/[ABC]$: dalam hal ini, kami menyebutnya koordinat barycentric ternormalisasi dan jumlahnya adalah$1$.

Jika semua area $[GBC]=[GCA]=[GAB]$ sama, koordinat barycentric yang dinormalisasi adalah $(1/3,1/3,1/3)$: kami mengenali sentroid; ini memungkinkan untuk menyimpulkan karena kesatuan koordinat barycentric.

Catatan: Koordinat barycentric masuk akal bahkan saat$M$ adalah bagian luar segitiga $ABC$: perhatikan saja pada (1) bahwa wilayah tersebut adalah wilayah berorientasi; sebagai contoh$[MBC]$ dianggap positif jika pergi dari $M$ untuk $B$, lalu ke $C$, satu belokan dengan orientasi langsung, sebaliknya $[MBC]$ diambil dengan tanda negatif.