Hasil yang berbeda pada DEigensystem dibandingkan dengan NDEigensystem untuk masalah nilai eigen Laplacian (-Δu = λu) pada unit square

Question

Saya ingin menghitung solusi untuk masalah nilai eigen Laplacian pada persegi satuan dengan kondisi batas Dirichlet sepele: $$- \Delta u(x,y) = \lambda u(x,y) \text{ on } {[0,1]}^2$$ dengan $u(0,y)=0$,$u(1,y)=0$,$u(x,0)=0$,$u(x,1)=0$.

Namun, Mathematica 12 melaporkan fungsi eigen yang berbeda saat menggunakan NDEigensystem berbeda dengan DEigensystem yang menggunakan kode berikut:

Versi DEigensystem:

{vals, funs} = 
DEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Versi NDEigensystem:

{vals, funs} = 
NDEigensystem[{-Laplacian[u[x, y], {x, y}], 
DirichletCondition[u[x, y] == 0, True]}, 
u[x, y], {x, y} ∈ Rectangle[], 2, 
Method -> {"PDEDiscretization" -> {"FiniteElement", 
"MeshOptions" -> {"MaxCellMeasure" -> 0.0001}}}];
Table[ContourPlot[funs[[i]], {x, y} ∈ Rectangle[], 
PlotRange -> All, PlotLabel -> vals[[i]], PlotTheme -> "Minimal", 
Axes -> True], {i, Length[vals]}]

Untuk fungsi eigen kedua, DEigensystemmelaporkan fungsi eigen buku teks klasik, sedangkan solusi numerik dengan NDEigensystemberbeda secara fundamental, meskipun diskritisasi mesh disetel ke nilai yang sangat kecil.

Mengapa demikian?

Answer 1

Seperti yang sudah ditunjukkan di komentar oleh @march dan @xzczd, negara bagian terendah kedua dengan nilai eigen $\lambda_{1,2} = \lambda_{2,1} = 5 \pi^2$ merosot dua kali lipat.

DEigensystem

NDEigensystem

Ini berarti bahwa eigenfunctions yang sesuai tidak hanya ditentukan hingga skala tertentu (seperti untuk status terendah). Mereka agak ditentukan untuk menjadi beberapa dasar ortogonal dari ruang angkasa

$$ E_{5 \pi^2} = \{a \phi_{1,2} + b \phi_{2,1} \mid a,b \in \mathbb{R}, \, -\Delta \phi_{1,2} = 5 \pi^2 \phi_{1,2}, \, -\Delta \phi_{2,1} = 5 \pi^2 \phi_{2,1}, \, \phi_{1,2} \perp \phi_{2,1}\} $$

Kita punya $\text{dim}(E_{5 \pi^2}) = 2$. Hasil dari NDEigensystem($\phi_{1,2,\text{ND}}, \phi_{2,1,\text{ND}}$) karena itu juga merupakan solusi yang valid karena keduanya menjangkau ruang eigen yang sama:

$$ E_{5 \pi^2} = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{NDEigen}}, \phi_{2,1,\text{NDEigen}}\} \\ = \text{span}\{\phi_{1,2,\text{DEigen}}, \phi_{2,1,\text{DEigen}}\} \\ = \text{span}\{\sin(1 \pi x)\sin(2 \pi y), \sin(2 \pi x)\sin(1 \pi y)\} $$