Hitung beberapa integral yang melibatkan Fungsi Eliptik Jacobi

Question

Saya ingin mengevaluasi integral berikut $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}^3(u;k)\text{sn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{1}$$ dan $$\displaystyle \int_{0}^{K} \text{dn}(u;k)\text{sn}(u;k)^2\text{cn}(u;k)^2\;\text{du},\tag{2}$$ dimana $\text{sn}$, $\text{dn}$ dan $\text{cn}$adalah fungsi Jacobi Elliptic snoidal , dnoidal dan cnoidal ,$K:=K(k)$ adalah integral elips lengkap dari jenis dan bilangan pertama $k \in \left(0,1\right)$ disebut modulus.

Saya sudah berkonsultasi dengan referensi $[1]$mencari beberapa formula yang membantu saya, tetapi saya tidak menemukan apa pun. Apakah integral ini memiliki bentuk eksplisit? Apakah ada referensi lain yang bisa saya rujuk untuk membantu saya?

$[1]$PF Byrd. MD Friedman. Buku Pegangan Integral Elips untuk Insinyur dan Ilmuwan. Springer-Verlag New York Heidelberg Berlim,$1971$.

Answer 1

Melalui hubungan fundamental (B&F 121.00) $\newcommand{sn}{\operatorname{sn}}\newcommand{cn}{\operatorname{cn}}\newcommand{dn}{\operatorname{dn}}$ $$\sn^2u+\cn^2u=1$$ $$k^2\sn^2u+\dn^2u=1$$ kita dapat mengubah integral yang diberikan pertama menjadi $$\int_0^K\dn u(1-k^2\sn^2u)\sn^2u\,du$$ Dengan B&F 364.03 kita dapat menulis ulang ini sebagai integral rasional sepenuhnya, yang mudah dievaluasi: $$=2\int_0^1\left(\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^2-k^2\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)^4\right)\frac1{1+t^2}\,dt=\frac{\pi(4-3k^2)}{16}$$ Ketika kita mengubah integral kedua yang kita dapatkan $$\int_0^K\dn u(1-\sn^2u)\sn^2u\,du$$ pada titik mana kita menyadari bahwa ini hanyalah kasus khusus dari integral yang diberikan pertama $k^2=1$, jadi kami langsung mendapatkan hasilnya sebagai $\frac\pi{16}$.