Hubungan antara $H^1(X, \mathbb{T})$ dan bundel garis kompleks

Dec 08 2020

Membiarkan $X$ menjadi ruang metrik kompak dan pertimbangkan kelompok kohomologi berkas $H^1(X, \mathbb{T})$. Dari kelas di$H^1(X, \mathbb{T})$, Saya bisa mendapatkan kepala sekolah $\mathbb{T}$-bundle over $X$dan dari sini, bundel garis kompleks terkait. Apa hubungan antar kelas di$H^1(X, \mathbb{T})$dan bundel garis kompleks? Apakah satu kelas memberi saya bundel baris yang sama hingga isomorfisme?

Jawaban

2 ArunDebray Dec 08 2020 at 22:09

Setidaknya jika $X$ memiliki tipe homotopi kompleks CW, terdapat isomorfisma alami di antaranya $H^1(X; \mathbb T)$ dan kelompok kelas isomorfisme dari kumpulan garis pada $X$ di bawah produk tensor.

Cara biasa ini diutarakan adalah bahwa kelas Chern pertama mendefinisikan isomorfisme dari kelompok bundel garis ke $H^2(X;\mathbb Z)$. Misalnya, dan untuk pembuktian, lihat Hatcher, "Bundel vektor dan$K$-teori, "Prop. 3.10 (hlm. 86).

Sekarang pertimbangkan urutan berkas gandum yang tepat pendek

$$0\to \mathbb Z\to\mathbb R\to\mathbb R/\mathbb Z\to 0,$$

dimana $\mathbb R$ membawa topologi kontinu (yaitu, ini adalah berkas fungsi bernilai riil kontinu di $X$). Kita punya$\mathbb R/\mathbb Z\cong\mathbb T$. Ada urutan tepat panjang yang diinduksi dalam kohomologi, tetapi seperti yang dicatat oleh Donu Arapura dalam jawaban untuk pertanyaan MathOverflow yang berbeda ,$H^k(X;\mathbb R)$ lenyap untuk $k > 0$. Oleh karena itu, urutan persis yang panjang disederhanakan menjadi

$$ 0 \to H^1(X; \mathbb T)\longrightarrow H^2(X; \mathbb Z)\to 0, $$

begitu $H^1(X;\mathbb T)$isomorfik ke kelompok bundel garis. Dibutuhkan sedikit lebih banyak pekerjaan untuk melihat bahwa isomorfisma sama dengan peta yang Anda gambarkan (bundel garis terkait ke$\mathbb T$-bundle), tapi itu juga benar.


Tidak semua ruang metrik kompak memiliki tipe homotopi kompleks CW, seperti dicatat oleh Milnor (akhir bagian 1). Sayangnya saya tidak tahu apa jawaban atas pertanyaan Anda untuk ruang-ruang itu.