Hubungan antara komponen jalur dari dua ruang topologi dengan komponen jalur produknya.

Question

Membiarkan $X_1$ dan $X_2$menjadi ruang topologi. Mari kita tunjukkan dengan$\pi_0(X)$ kumpulan komponen jalur $X$. Saya ingin tahu apakah ada hubungan antara$\pi_0(X_1)$, $\pi_0(X_2)$, dan $\pi_0(X_1\times X_2)$.

Saya sudah menunjukkan itu $\pi_0(X_1)\times \pi_0(X_2)\subset \pi_0(X_1\times X_2)$. Apakah inklusi lainnya benar?

Terima kasih!

Answer 1

Hal pertama yang perlu diperhatikan adalah bahwa ini secara teknis bukan set inklusi, melainkan inklusi alami $(X_i,Y_j) \mapsto X_i \times Y_j$, karena produk dari jalur ruang yang terhubung adalah jalur yang terhubung. Jika$X=A \cup B$, dengan $A \cap B = \emptyset$, lalu untuk set apa pun $Y$, $X \times Y = A \times Y \cup B \times Y$dengan menjadi komponen disoint ini. Jadi jika$Y = \bigcup_i Y_i$ dan $X=\bigcup_j X_j$, dimana $X_j,Y_i$ adalah komponen jalur (yang terputus-putus!), kita memilikinya $X \times Y = \bigcup_{ij} X_j \times Y_i$. Ini jelas merupakan komponen jalur dari$X \times Y$, karena jika ada jalur yang menghubungkan titik di titik yang berbeda akan ada jalur yang menghubungkan $Y_i$ untuk $Y_i'$ atau $X_j$ untuk $X_j'$. Jadi kita mendapatkan kebijaksanaan alami (penyertaannya bersifat dugaan)$\pi_0(X)\times \pi_0(Y) \rightarrow \pi_0(X \times Y)$ dimana $(X_j,Y_i) \mapsto X_j \times Y_i$.