Integral dari teorema jejak dan divergensi

Question

Saya telah menemukan persamaan berikut dalam makalah yang saya baca dan saya terjebak karena saya tidak dapat memeriksanya.

Kami memiliki bidang vektor mulus bebas divergensi $V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$didefinisikan di torus. Hal itu diklaim$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$ dimana $dx$adalah ukuran standar Lebesgue pada torus. Satu-satunya ide saya untuk memeriksa ini adalah dengan menggunakan beberapa penggunaan integrasi oleh bagian dan teorema divergensi: "jejak" yang muncul dalam integral harus dikurangi menjadi divergensi beberapa kuantitas (menggunakan fakta bahwa$\text{div } V = 0$) dan kemudian kesimpulannya akan diikuti oleh teorema divergensi (karena kita berada di torus).

Namun, ada sesuatu yang rusak: dalam 2D ​​perhitungan eksplisit memberitahu saya bahwa integrand adalah $$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$ (dengan notasi yang jelas untuk turunan dan $V=(v_1,v_2)$) dan saya gagal menulis ini sebagai divergensi sesuatu, bahkan tidak menggunakan integrasi berdasarkan bagian atau fakta itu $\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$.

Saya merasa harus ada beberapa trik sederhana (umum?) Di belakang, tetapi setelah malam perhitungan saya menyerah. Terima kasih atas bantuan Anda.

Answer 1

Pertimbangkan bidang vektor berikut: $$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$ di $\mathbb T^N$. Kemudian dengan teorema divergensi,$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$ Sejak

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

seseorang mendapatkan hasilnya.

Answer 2

Jadi, mengintegrasikan dengan bagian dan menggunakan fakta itu $\nabla\cdot v=0$ kamu punya $$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$ begitu $$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$