Interpretasi dan unit elemen kovarian dalam risiko portofolio
Risiko portofolio yang diberikan adalah $\mathbf{w}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{w}$ dimana $\boldsymbol{\Sigma}$ adalah matriks kovarians yang elemen diagonalnya $\sigma^2_{n}$ adalah varians pengembalian aset individu dan yang elemen off-diagonalnya adalah kovarians berpasangan dari aset, $\sigma_{n,\neg n}$
apa interpretasi elemen $\sigma_{1,2}$ di $\boldsymbol{\Sigma}$, dan bagaimana Anda menggambarkan unitnya?
Jika $\sigma_{1,2}=0.1$ apakah benar mengatakan yang berikut ini?
"pergerakan dalam pengembalian aset 1 rata-rata bervariasi dengan pergerakan pengembalian aset 2 sebesar 10% standar deviasi dan sebaliknya"
Jawaban
Masalah interpretasi dan unit, yaitu kurangnya jawaban yang mudah intuitif, adalah alasan mengapa para quants / econometricians dll. Cenderung menghindar untuk berbicara terlalu banyak tentang kovarian [bahkan jika mereka benar-benar diperlukan; dan sering digunakan]. Jadi, jika sesuatu yang melibatkan kovarian harus diinterpretasikan, apalagi dijelaskan, default biasanya menyatakannya dalam bentuk korelasi, yang memang memiliki unit intuitif: dibatasi [-1,1] dengan 0 = independensi, dll.
Kor (1,2) = Cov (1,2) / (sd (1) * sd (2))
Cov (1,2) = Kor (1,2) * sd (1) * sd (2)
Jadi "unit" di sini adalah gabungan produk dari tiga ukuran, masing-masing dengan unitnya sendiri: dua volatilitas dan ukuran asosiasi yang dibatasi. Dengan demikian, mereka ada tetapi tidak memiliki penjelasan intuitif.
Hal terdekat yang dapat dilakukan adalah dengan mengekspresikan kovarian sebagai perubahan marjinal dalam varian portofolio per unit perubahan dalam produk Bobot 1 & 2. Yang tetap tidak elegan secara ekstrim, bersikap sopan ;-)
Ingat juga bahwa OLS beta tradisional dapat diekspresikan sebagai:
Beta (1 | 2) = Cov (1,2) / Var (2) = E (d1) / d2
E (d1) = Cov (1,2) * d2 / Var (2)
Jadi perubahan +1 di Aset2 memiliki +0.1 dibagi dengan efek variansinya di Aset1. Yang sama dengan mengatakan bahwa pergerakan +1 sigma di Aset2 memiliki 0,1 dibagi dengan deviasi standarnya pada Aset1. Yang sama dengan mengatakan (di mana Z = 1 adalah syok 1 sigma):
d1 / d2 = Cov (1,2) / Var (2)
d1 / z2 = Cov (1,2) / SD (2)
z1 / z2 = Cov (1,2) / (SD (1) * SD (2)) = Cor (1,2)!
Jadi cara untuk membuat jenis pernyataan yang Anda coba buat di atas tetap intuitif dengan menerjemahkan kovarian Anda menjadi korelasi tak bersatuan (intuitif). Satu gerakan sigma di 1 atau 2 akan memiliki efek sigma Cor (1,2) marjinal di sisi lain.
Bagaimanapun pendekatan Anda ini, Anda selalu perlu memproses kovarians melalui metrik tambahan (dengan unitnya sendiri, apakah pengembalian absolut, hasil yang disesuaikan vol, atau bobot) untuk menghasilkan hasil penjelasan intuitif apa pun di sini. Formulasi w.Cov.w tradisional efisien untuk memprediksi risiko portofolio; tetapi ketika sampai pada interpretasi dan penjelasan, itu gagal. Itulah mengapa publikasi pasti menunjukkan matriks korelasi terkait dalam preferensi. Keduanya akan selalu memberi Anda keluaran / perkiraan yang sama; dengan pilihan antara keduanya akhirnya pertanyaan prediksi vs interpretasi (yaitu presentasi di alam).
Jadi mari kita asumsikan bahwa portofolio seluruhnya terdiri dari consols atau obligasi diskon periode tunggal. Ini akan meragukan ekuitas karena$$_iR_t=\frac{_ip_{t+1}}{_ip_t}\times\frac{_iq_{t+1}}{_iq_t}-1$$ dan $$_jR_t=\frac{_jp_{t+1}}{_jp_t}\times\frac{_jq_{t+1}}{_jq_t}-1$$jika Anda mengabaikan efek dividen. Itu membuat kembali distribusi produk dari dua distribusi rasio. Model seperti CAPM menghindari masalah ini dengan mengasumsikan bahwa semua parameter diketahui dan tidak ada yang melakukan estimasi. Di bawah asumsi ringan, pengembalian ini tidak akan memiliki matriks kovarians yang ditentukan bahkan dalam ruang log.
Namun, sehubungan dengan pertanyaan Anda, penting untuk diingat bahwa parameter seperti $\{\mu_i,\mu_j,\sigma_{i,j},\sigma_{i,i},\sigma_{j,j}\}$dianggap sebagai poin tetap dalam teori Frequentist. Model seperti CAPM tidak berfungsi dalam ruang Bayes karena parameternya adalah variabel acak.
Jadi, sebagai jawaban atas pertanyaan Anda, satuan $\sigma_{i,j}$berada dalam keuntungan / defisit kuadrat yang ditandatangani secara terarah dari ekspektasi gabungan. Itu bisa dianggap sebagai area dengan arah.
Interpretasi biasa selalu diskalakan oleh varians dengan mencatat itu $\beta_{i,j}=\frac{\sigma_{i,j}}{\sigma_{i,i}}.$
@develarist: Saya membaca lagi dan bunyinya seperti ini. (tidak membicarakan hal ini sehubungan dengan CAPM atau mengomentari diskusi Anda saat ini dengan Dave). Misalkan Anda punya$\sigma_{(1,2)}$ yang menunjukkan kovarian (pengembalian) dari saham 1 dan saham 2. Menunjukkan $x$ sebagai pengembalian (dalam sampel) dari saham 1 dan $y$ sebagai pengembalian (dalam sampel) dari saham 2.
Langkah pertama menuju interpretasi adalah mengambil $\sigma_{(1,2)}$ dan membaginya dengan varians sampel pengembalian saham 1. Sebut ini $\beta_{(1,2)}$. Kemudian, setelah Anda melakukan ini,$\beta_{(1,2)}$ dapat diartikan sebagai koefisien (bukan intersep. yang lain) dari regresi sederhana dari return saham 1 versus return saham dari saham_2 dimana return saham 2 adalah responnya ($y$) dan tingkat pengembalian saham 1 adalah prediktornya ($x$).
Fakta bahwa $\sigma_{(1,2)}$adalah 0,1 benar-benar tidak berarti banyak karena harus dibagi dengan varians sampel dari pengembalian saham 1 agar interpretasi regresi dapat dijelaskan. Tentu saja, jika varians sampel dari pengembalian saham 1 kebetulan adalah 1,0, maka kovarian dapat diinterpretasikan sebagai jumlah perkiraan bahwa pengembalian saham 2 meningkat untuk setiap unit peningkatan dalam pengembalian saham 1.
Perhatikan bahwa tampaknya kontradiksi yang saya rujuk di posting asli saya (yang membuat saya bingung) tidak ada karena jika kita membalik regresi dan membuat pengembalian saham 1 (x) respons dan pengembalian saham 2 (y) menjadi prediktor, lalu satu akan perlu membagi kovarian, $\sigma_{(1,2)}$oleh varians sampel dari pengembalian saham 2 (y) daripada varians sampel dari pengembalian saham 1 (x). Jadi, tidak ada inkonsistensi dalam definisi tersebut. Saya harap ini menjelaskan banyak hal.
Oh, juga, sejauh yang saya tahu, tampaknya juga tidak ada hubungan apa pun antara kovarians dan R ^ 2 dari regresi yang menurut saya salah. Saya mohon maaf atas kebingungan di sana.