Interpretasi dari teorema umum tertentu yang digunakan oleh Gauss dalam karyanya tentang fungsi theta.
Saya mencoba untuk memahami arti dari proposisi umum yang dikemukakan oleh Gauss dalam makalah posthomous (makalah ini ada di hlm. 470-481 dari volume 3 dari Gauss's werke) tentang fungsi theta, sebuah proposisi yang nampaknya berfungsi sebagai pedoman dan prinsip pengorganisasian dari sejumlah besar hubungan di antara fungsi-fungsi theta yang dia temukan.
Notasi dan definisi Gauss
Dilambangkan dengan $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ fungsi berikut:
$$P(x,y)=1+x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})+x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$Q(x,y)= 1-x(y+\frac{1}{y})+x^4(y^2+\frac{1}{y^2})-x^9(y^3+\frac{1}{y^3})+...$$ $$R(x,y)=x^{\frac{1}{4}}(y^{\frac{1}{2}}+y^{-\frac{1}{2}})+x^{\frac{9}{4}}(y^{\frac{3}{2}}+y^{-\frac{3}{2}})+x^{\frac{25}{4}}(y^{\frac{5}{2}}+y^{-\frac{5}{2}})+...$$
Fungsi-fungsi ini termasuk fungsi Jacobi theta dalam arti biasa sebagai kasus khusus; jika$y$ adalah bilangan kompleks yang nilai absolutnya $1$, dan $z$ didefinisikan sebagai bilangan real sedemikian rupa $y = e^{2iz}$, maka kami memiliki:
$$P(x,y)=1+2cos(2z)x+2cos(4z)x^4+2cos(6z)x^9+...=\vartheta_3(z,x)$$
yang mengikuti dari identitas $cos(2nz)= \frac{e^{2inz}+e^{-2inz}}{2}$. Secara paticular, kami memiliki:
$$P(x,1)=1+2x+2x^4+2x^9+...=\vartheta_3(0,x)$$, Jadi orang bisa mengerti $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ sebagai generalisasi fungsi jacobi theta $\vartheta(z,x)$ dari yang murni nyata $z$ ke kompleks $z$ (bagian imajiner bukan nol dari z), sehingga $|y| \ne 1$.
Catatan: Saya tidak begitu paham dengan publikasi Jacobi, jadi sangat mungkin definisi asli Jacobi tentang fungsi theta-nya juga mencakup kasus ketika$z$ rumit, jadi fungsi Gauss $P(x,y),Q(x,y),R(x,y)$ tidak lain adalah fungsi theta Jacobi dengan notasi yang berbeda.
Teorema Gauss
Pada 6 Agustus 1827, Gauss menyatakan "teorema umum" berikut:
$$P(x,ty)\cdot P(x,\frac{y}{t}) = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2) $$
dan kemudian melanjutkan untuk mendapatkan banyak hubungan darinya.
Untuk latar belakang yang lebih komprehensif tentang pertanyaan ini, silakan lihat jawaban untuk posting stackexchange HSM https://hsm.stackexchange.com/questions/6256/did-gauss-know-jacobis-four-squares-theorem.
Oleh karena itu, saya ingin mengetahui bagaimana menafsirkan teorema umum yang dikemukakan oleh Gauss.
Jawaban
Definisi fungsi Gauss theta dapat ditulis sebagai
$$ P(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}y^n,\;\; R(x,y) = \sum_{n\in\mathbb{Z}+\frac12} x^{n^2}y^n. \tag{1} $$
Sekarang perhatikan produk dari dua fungsi theta
$$ S := P(x,ty)\cdot P(x,y/t) = \left(\sum_{n\in\mathbb{Z}} x^{n^2}(ty)^n\right) \! \left(\sum_{m\in\mathbb{Z}} x^{m^2}(y/t)^m\right). \tag{2} $$
Ini dapat ditulis ulang sebagai penjumlahan ganda
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{n^2+m^2} y^{n+m}t^{n-m}. \tag{3} $$
Tulis ulang ini menggunakan variabel baru
$$ j = \frac{n+m}2,\;\; k = \frac{n-m}2 \;\; \text{ where } \;\; n = j+k,\;\; m = j-k \tag{4} $$
mendapatkan
$$ S = \sum_{n,m\in\mathbb{Z}} x^{2(j^2+k^2)} y^{2j}t^{2k}. \tag{5} $$
Jumlah ganda $\,S\,$terbagi menjadi dua kasus. Satu adalah$\,S_0\,$ dimana $\,n,m\,$ memiliki kesamaan yang sama dengan $\,j,k\in\mathbb{Z}.\,$ Yang lainnya adalah $\,S_1\,$ dimana $\,n,m\,$ memiliki kesamaan yang berbeda dengan $\,j,k\in\mathbb{Z}+\frac12.\,$ Tulis kembali jumlah tersebut sebagai hasil kali
$$ S_0 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) \tag{6} $$
dan
$$ S_1 = \sum_{j,k\in\mathbb{Z}+\frac12} (x^2)^{k^2}(t^2)^k \cdot (x^2)^{j^2}(y^2)^j = R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{7} $$
Hasil akhirnya adalah
$$ S = S_0+S_1 = P(x^2,t^2)P(x^2,y^2) + R(x^2,t^2)R(x^2,y^2). \tag{8} $$
Saya pikir ini mirip dengan bukti asli Gauss tapi saya tidak tahu itu. Pendekatan ini pasti sudah sangat tua.
Mari gunakan variabel $q, z$ dengan $q=x, y=e^{2iz}$ maka $$P(x, y) =\vartheta_3(z,q),Q(x,y)=\vartheta_4(z,q),R(x,y)=\vartheta_2(z,q)$$ dan sekarang kita dapat menuliskan teorema umum Gauss sebagai $$\vartheta_3(z+w,q)\vartheta_3(z-w,q)=\vartheta_3(2z,q^2)\vartheta_3(2w,q^2)+\vartheta_2(2z,q^2)\vartheta_2(2w,q^2)$$ (dengan $t=e^{2iw}$) sebagai identitas antara fungsi Jacobi theta.
Ini adalah salah satu identitas paling mendasar antara fungsi theta dan hampir semua hubungan aljabar antara fungsi theta dapat diturunkan menggunakan ini. Anda mungkin melihat makalah ini di arXiv untuk beberapa identitas yang diturunkan melalui teorema umum Gauss ini
Bukti yang sama dapat diberikan dengan mempertimbangkan rasio sisi kiri dan kanan dan menunjukkan bahwa itu adalah fungsi periodik ganda tanpa kutub. Dan dengan demikian adalah sebuah konstanta. Diperlukan upaya untuk menunjukkan bahwa konstanta itu ada$1$ tetapi dapat ditampilkan dengan beberapa manipulasi aljabar pada rangkaian yang sesuai dengan fungsi-fungsi ini $z=0,w=0$.
Saat ini saya tidak memiliki bukti aljabar langsung dari identitas di atas dan perlu memeriksa Jacobi Fundamenta Nova untuk melihat apakah Jacobi memberikan bukti semacam itu. Juga seperti yang Anda katakan dalam pertanyaan Anda, fungsi Jacobi Theta ditentukan untuk semua kompleks$z, q$ dengan $|q|<1$.