Interpretasi koordinat trilinear kompleks
Inti nya $X_{5374}$ dalam Ensiklopedia Pusat Segitiga memiliki koordinat trilinear $$\sqrt{\cot A}:\sqrt{\cot B}:\sqrt{\cot C}$$Jika segitiga referensi tumpul, satu (dan hanya satu) koordinat ini menjadi bilangan kompleks non-nyata dengan mengambil akar kuadrat dari bilangan negatif. Ada beberapa titik ETC lain yang mungkin memiliki koordinat kompleks, seperti$X_{5000}$; pusat segitiga baru yang saya tanyakan dengan trilinears$\frac1{\sqrt{a\cos A}}:\frac1{\sqrt{b\cos B}}:\frac1{\sqrt{c\cos C}}$ termasuk dalam kategori yang sama.
Koordinat trilinear, menurut definisi, adalah rasio jarak terarah dari titik ke tepi segitiga, tetapi interpretasi ini hanya berfungsi jika semua koordinat nyata. Jika suatu titik memiliki koordinat trilinear yang kompleks, bagaimana cara menafsirkannya? Penafsiran geometris lebih disukai.
Jawaban
Jawaban ini akan menjadi survei referensi singkat dan dangkal dengan interpretasi entitas "imajiner" dalam geometri. Saat mengerjakan geometri bidang Euclidean Anda secara implisit mengerjakan bidang Euclidean yang kompleks. Dalam bidang nyata, garis dan lingkaran tidak boleh berpotongan, tetapi dalam bidang kompleks keduanya akan berpotongan. Anda dapat bekerja murni secara aljabar, tetapi seringkali akan ada interpretasi geometris. Misalnya, perpotongan lingkaran dan garis yang terputus-putus akan menghasilkan pasangan titik imajiner konjugasi, tetapi garis yang melaluinya akan menjadi garis "nyata" yang sebenarnya merupakan garis aslinya. Dua titik imajiner dari perpotongan dua lingkaran yang saling lepas akan membentuk garis nyata yang merupakan sumbu akar dari kedua lingkaran (lihat jawaban ini).). Dan empat titik imajiner perpotongan dua kerucut akan menentukan dua garis yang menggeneralisasi sumbu akar dan juga berhubungan dengan anggota pensil yang merosot yang ditentukan oleh dua kerucut.
Kembali ke trilinears, Bab IX Koordinat Trilinear Whitworth , 1866 membahas titik dan garis imajiner. URL disiapkan dengan istilah pencarian yang memungkinkan Anda menelusuri referensi ke entitas imajiner.
Geometer sintetis pada abad ke-19 juga memiliki cara untuk menafsirkan khayalan. Beberapa di antaranya kembali ke "Prinsip Kesinambungan" Poncelet yang menyatakan bahwa, misalnya, persimpangan kerucut dan garis tidak tiba-tiba menghilang ketika mereka menjadi terputus-putus. Sebagai contoh, sebuah kerucut a menentukan pada setiap garis lurus sebuah involusi dengan menggunakan pasangan titik konjugasi kolinear dan ketika titik ganda dari involusi ini adalah nyata, mereka adalah titik perpotongan dari garis dan kerucut. Dengan analogi, revolusi di mana titik ganda berada di luar garis mewakili pasangan titik imajiner.
Tampaknya von Staudt mendorong gagasan ini paling jauh. Lihat Teori Hatton tentang Imajiner dalam Geometri untuk lebih detailnya. Juga bagian terakhir dari Coolidge's Geometry Of The Complex Domain .
Grafik dan imajinasi Hamilton dan Kettle mungkin patut untuk dilihat.
Saya menduga bahwa ini mungkin tidak secara langsung menjawab pertanyaan Anda tentang bagaimana menafsirkan koordinat trilinear yang kompleks, tetapi teks-teks dari masa lalu ini setidaknya memberikan gambaran tentang bagaimana geometer telah mencoba untuk bekerja dengan imajiner. Mengetahui bagaimana melakukannya dalam geometri sintetik adalah pencapaian yang mengesankan tetapi mungkin kurang bermanfaat daripada metode analitik dalam terus maju, jadi ini mungkin cabang matematika yang terlupakan.