Jacobson radikal dari cincin Polinomial

Aug 18 2020

Definisi: Let$M$ kacang $R$modul. Kemudian Jacobson radikal$M$ dilambangkan dengan $J_R(M)$ dan didefinisikan sebagai perpotongan dari semua submodul maksimal $M$. Jika$M$ tidak memiliki submodul maksimal $J_R(M)=M$.

Membiarkan $R$ menjadi cincin komutatif dan $S=R[x]$menjadi cincin Polinomial. Kita tahu bahwa Jacobson radikal$S$ adalah $Nil(R)[x]$ kapan $S$ diambil sebagai $S$modul. yaitu$J_S(S)=Nil(R)[x]$.

Pertanyaan saya: apa yang akan menjadi radikal Jacobson$S$ kapan $S$ diambil sebagai $R$modul? yaitu$J_R(S)=?$

Tolong bantu aku. Saya akan sangat berterima kasih kepada Anda.

Jawaban

2 FabioLucchini Aug 18 2020 at 16:01

Pertama perhatikan itu $S\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}R$ sebagai $R$-modul. Selain itu, radikal jacobson mempertahankan jumlah langsung$$J_R(S)\cong\bigoplus_{n\in\Bbb N}J_R(R)$$ itulah submodul polinomial dengan koefisien dalam $J_R(R)$.


Untuk membuktikan bahwa Jacobson radikal bolak-balik dengan jumlah langsung dari modul, pertama perhatikan bahwa setiap $R$-module homomorphism $\varphi:M\to N$ peta $J_R(M)$ ke $J_R(N)$. Menerapkan ini ke proyeksi kanonik$\bigoplus_iM_i\to M_i$ memberi $J_R(\bigoplus_iM_i)\subseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$. Demikian pula dengan mempertimbangkan inklusi kanonik$M_i\to\bigoplus_iM_i$ kami mendapatkan penyertaan terbalik $J_R(\bigoplus_iM_i)\supseteq\bigoplus_iJ_R(M_i)$.