Jarak maksimum yang dilalui dalam gerakan proyektil yang ideal
Dalam gerakan proyektil, pertimbangkan proyektil yang akan diluncurkan $(0,0)$sebagai ditelusuri menjadi sumbu kartesius. Kemudian lintasan diberikan oleh$$y=x \tan \theta \big(1-x/R)$$ dimana $\theta$ diukur dari $x$ sumbu, dan gravitasi bekerja bersama $y$ sumbu, $R$ singkatan dari jangkauan maksimum yang dapat bervariasi dengan kecepatan awal yang besarnya $v$.
Menggunakan rumus panjang busur dari kurva umum, $$dl=\int\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}\ dx$$ kita mendapatkan jarak yang dilintasi sebagai integral dari bentuk D =$\sqrt{ax^2+bx+c}$
Model interaktif dapat ditemukan di sini.
Pertanyaan saya: Bagaimana cara menemukan pada sudut berapa$\theta$ jarak yang ditempuh proyektil akan dimaksimalkan, diberi nilai tetap $v$.
Saya mencoba melakukan $$\frac{d}{d \theta}D=0$$ tapi itu memberi saya hal yang tidak diketahui $\frac{dx}{d \theta}$, Saya tidak dapat mendekati lebih jauh, jadi saya membuat grafik di sini dan menemukan bahwa itu sudah dekat$56.4^\circ$ tapi saya tidak yakin apakah sudah diperbaiki.
Jawaban
Metode Anda tidak terlalu buruk pada awalnya, kecuali bahwa Anda tampaknya telah mengabaikan (atau setidaknya tidak menyatakan dengan jelas) itu $R$ tergantung pada $\theta$juga, itulah yang membuat masalah ini cukup sulit untuk dipecahkan. Jika saya memahami Anda dengan benar, Anda ingin mencari nilai$\theta$ (untuk kecepatan tetap $u$) yang memaksimalkan panjang total proyektil di udara. Dalam hal ini, mengambil turunan seperti$\frac{\text{d}x}{\text{d}\theta}$tidak masuk akal. Variabel yang ingin Anda maksimalkan adalah$a,b,$ dan $c$, karena Anda akan berintegrasi $x$!
Meskipun pada awalnya saya sangat yakin bahwa masalah ini harus memiliki hasil analitis yang sederhana, tampaknya tidak demikian! Sejauh yang saya bisa lihat, untuk benar-benar menyelesaikannya, Anda perlu menggunakan metode numerik. Jika ada yang tahu cara yang lebih baik, saya akan sangat tertarik. Izinkan saya menjelaskan apa yang saya lakukan.
Saya memutuskan untuk membuat asumsi berikut:
Kecepatan total (konstanta) adalah 1. Ini bukan masalah, saya baru saja memilih satuan yang mana $u=1$, yang sangat bisa diterima.
Saya hanya akan berubah $u_y$, mengingat kendala di atas. Nilai dari$u_x$ akan diperbaiki oleh $\sqrt{1 - u_y^2}$.
Seperti yang Anda tunjukkan (tetapi dirumuskan sedikit berbeda) total panjang yang dicakup oleh proyektil adalah:
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{\left(\frac{\text{d}y}{\text{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\text{d}x}{\text{d}t}\right)^2} \text{d}t$$
(Dalam hal ini, saya telah memilih untuk membuat parameter kurva pada saat itu $t$, tempat saya mengintegrasikan $t=0$ untuk $t=2 u_y/g$, yang dapat dengan mudah ditunjukkan sebagai total waktu penerbangan. Kamu juga bisa melakukannya dengan caramu.)
Menggunakan fakta itu
\ begin {persamaan} \begin{aligned} y &= u_y t - \frac{1}{2}g t^2,\\ x &= u_x t, \end{aligned} \ end {persamaan}
mudah untuk menunjukkannya
$$L = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{(u_y-gt)^2 + u_x^2} \,\,\text{d}t = \int_{0}^{2u_y/g}\sqrt{u^2 - 2u_y g t + g^2 t^2} \,\,\text{d}t.$$
Pada saat-saat seperti ini, akan berguna untuk "menyesuaikan" persamaan, sehingga batasannya tidak bergantung $u_y$. Kita dapat mendefinisikan waktu "tanpa dimensi"$$\tau = \frac{g}{2u_y}t,$$ sehingga integralnya menjadi:
$$L = \frac{2}{g} \int_{0}^{1}u_y\sqrt{u^2 - 4 u_y^2 \tau + 4 u_y^2 \tau^2} \,\,\text{d}\tau,$$
yang merupakan bagian integral yang cukup buruk untuk dipecahkan dengan tangan. Mungkin orang-orang di Math.SE bisa melakukannya dengan adil? Saya memutuskan untuk menggunakan Mathematica untuk menyelesaikannya .
Saya pertama kali mengintegrasikan fungsi secara numerik dan memplot integral untuk nilai yang berbeda $u_y$ seperti yang ditunjukkan di bawah ini, dan terkejut saat menemukannya $L$ memang memiliki nilai maksimum (pemikiran awal saya mungkin tidak) untuk $u_y$ antara 0,82 dan 0,84.
Mengingat ini, saya mendapat Mathematica untuk mengintegrasikan fungsi dan menemukannya
$$L = \frac{1}{4}\left( 2 u u_y + (u_y^2 - u^2) \ln\left({\frac{u - u_y}{u+u_y}}\right)\right).$$
Tidak ada yang menghentikan kami untuk menggunakan unit di mana $u=1$ dan oleh karena itu $u_y \in (0,1)$, dan di unit ini
$$L= \frac{1}{4}\left( 2 u_y + (u_y^2 - 1) \ln\left({\frac{1 - u_y}{1+u_y}}\right)\right).$$
Selanjutnya, saya mencoba memaksimalkan ini sebagai fungsi $u_y$ dengan mengambil turunan dan menyamakannya dengan nol, yang mengarah ke:
$$2 + u_y \ln\left({\frac{1 - u_y}{1 + u_y}}\right) = 0.$$
Ini adalah persamaan transendental dan karenanya tidak mudah dipecahkan. Tetapi tidak terlalu sulit untuk menyelesaikannya secara numerik untuk menemukannya$L$ dimaksimalkan saat $$u_y = 0.833557,$$
yang terletak pada kisaran yang kami harapkan. Ini sesuai dengan sudut$$\theta = \arctan{\frac{u_y}{\sqrt{1 - u_y^2}}} = 0.985516 \text{ rad} \approx 56.466^\circ.$$