Jika $A$ adalah bagian dari garis nyata $\mathbb R$ dan $\mathbb Q \subseteq A$ manakah dari berikut ini yang harus benar?

Question

Jika $A$ adalah bagian dari garis nyata $\mathbb R$ dan $A$ berisi setiap bilangan rasional, manakah dari berikut ini yang harus benar?

(a) Jika $A$ terbuka, lalu $A = \mathbb R$.

(b) Jika $A$ ditutup, lalu $A = \mathbb R$.

(c) Jika $A$ tidak terhitung, lalu $A = \mathbb R$.

(d) Jika $A$ tidak terhitung, lalu $A$ terbuka.

(e) Jika $A$ bisa dihitung, lalu $A$ ditutup.

Pendekatan Saya:

(a) Salah. $A$ bisa dikatakan $\mathbb R\setminus \{\sqrt{2}\}$ yang terbuka karena pada dasarnya adalah penyatuan dua set terbuka $(-\infty, \sqrt 2) \cup (\sqrt 2, \infty)$.

(b) Benar. $\bar {\mathbb Q}$ adalah set tertutup terkecil yang berisi $\mathbb Q$. Dan kami tahu$\bar {\mathbb Q} = \mathbb R$. Jadi jika$A$ ditutup, lalu $A = \bar A = \mathbb R$. Itu tidak mungkin lebih besar dari$\mathbb R$.

(c) Salah. $\mathbb R \setminus \{\sqrt{2}\}$ mengandung $\mathbb Q$ tapi tak terhitung.

(d) Saya tidak yakin tentang ini tetapi saya pikir itu salah. Bisakah seseorang memberikan contoh eksplisit dari himpunan yang tak terhitung$A$ mengandung $\mathbb Q$ itu terbuka?

(e) Salah. Contoh balasannya adalah$\mathbb Q$diri. Kami tahu itu$\mathbb Q$yang tidak terbuka atau tertutup di$\mathbb R$.

Answer 1

Saya pikir untuk (d) Anda benar-benar menginginkan set yang tak terhitung $A$ mengandung $\Bbb Q$itu tidak terbuka. Yang mudah adalah$[0,1]\cup\Bbb Q$. (Dalam (a) Anda sudah memberikan contoh yang adalah terbuka.)

Jawaban Anda yang lain benar.