Jika $\{a_n\}$ adalah urutan positif dan $b_n := a_1/a_2 + \dotsb + a_{n-1}/a_n + a_n/a_1$, lalu tunjukkan itu $\lim_{n \to \infty} b_n = \infty$.

Aug 18 2020

Membiarkan $a_n$ menjadi urutan positif.

Kami mendefinisikan $b_n$ sebagai berikut:

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1}$$

Pertanyaan: Buktikan$\lim b_n=\infty$.


Solusi yang saya sarankan: Saya mampu membuktikan sebaliknya (bahwa batasnya bukanlah tak terhingga), bolehkah Anda menunjukkan kesalahan yang saya lakukan?

Saya mengambil $a_n$ sebagai berikut: $1,1,2,8,64,1024,\dots$ Kemudian $b_n$ adalah: $$1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + \dotsb + a_n.$$ Elemen pertama kecuali yang terakhir adalah jumlah dari suatu perkembangan geometris yang menyatu $2$ kapan $n$ menjadi terlalu besar jadi batas keseluruhannya adalah $2+a_n$ yang pasti tidak terbatas ...

Jawaban

6 user Aug 18 2020 at 14:15

Dalam counterexample Anda ada sesuatu yang tidak bekerja, Anda memang berasumsi

$$\large {a_n=2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}}\to \infty$$

dan oleh karena itu

$$b_n= \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \ldots + \frac{1}{2^{n-1}} + a_n\ge a_n \to \infty$$

Untuk membuktikannya $b_n \to \infty$, oleh AM-GM kami memilikinya

$$b_n = \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \ldots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \ge n \sqrt[n]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \ldots \cdot \frac{a_{n-1}}{a_n} \cdot \frac{a_n}{a_1}}=n\cdot 1=n\to \infty$$

lalu simpulkan dengan teorema squeeze.

3 YvesDaoust Aug 18 2020 at 14:40

Kita bisa menulis

$$b_n=c_1+c_2+c_3+\cdots c_{n-1}+\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}$$ Dimana $c_k$ adalah bilangan positif.

Nilai minimum $b_n$ ditemukan dengan membatalkan gradien,

$$\forall k:1-\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}c_k}=0$$ atau $$c_k=\frac1{c_1c_2c_3\cdots c_{n-1}}=\frac1p.$$

Solusinya adalah $p=c_k=1$ dan $b_n=n$ adalah jumlah terkecil yang mungkin, yang ditemukan secara independen oleh @user.