Jika $M$ adalah model kelas standar isomorfik ZFC $V$, lalu $M = V$?

Question

Perhatikan pernyataan berikut: (T) "If $M$ adalah model kelas standar isomorfik ZFC $V$, kemudian $M = V$. "Pernyataan (T) setara dengan:" Jika transitif runtuh dari model kelas standar $M$ ZFC sama dengan $V$, kemudian $M = V$. "Ini karena runtuhnya transitif dari sebuah kelas $M$ adalah kelas transitif unik yang bersifat isomorfik berdasarkan unsur $M$.

Di sini, yang dimaksud dengan model kelas standar ZFC yang saya maksud adalah model kelas ZFC yang hubungan unsurnya adalah hubungan unsur nyata.

Asumsikan bahwa ZFC konsisten. Apakah ZFC membuktikan (T)? Apakah ZFC menyangkal (T)? Jika tidak untuk keduanya, apakah ZFC dengan beberapa aksioma utama tambahan menyangkal (T)?

Answer 1

Tidak. Tentukan $F:V\to V$ oleh $\in$-recursion as $F(x)=\{F(y):y\in x\}\cup\{\emptyset\}$. Jelas$F(x)$ tidak kosong untuk semua $x$. Juga,$F$ bersifat suntik: jika $F(x)=F(x')$, lalu dengan induksi aktif $\max(\operatorname{rank}(x),\operatorname{rank}(x'))$ kita mungkin berasumsi $F$ adalah suntik $x\cup x'$. Sejak$F(x)=F(x')$ kita harus punya $\{F(y):y\in x\}=\{F(y):y\in x'\}$, tapi sejak $F$ adalah suntik $x\cup x'$ ini menyiratkan $x$ dan $x'$ memiliki elemen yang sama dan karenanya $x=x'$. Jelas juga$y\in x$ menyiratkan $F(y)\in F(x)$, dan kebalikannya mengikuti dari injeksi $F$.

Secara keseluruhan, ini menunjukkan itu $F$ adalah isomorfisme dari $(V,\in)$ untuk $(M,\in)$ dimana $M$ adalah gambar dari $F$. Tapi$M\neq V$, sejak $\emptyset\not\in M$.