Jika $p$ adalah bilangan prima ganjil dengan $p ≡ 3(\mod 4)$, kemudian $(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}$

Aug 16 2020

Buktikan jika benar. Berikan counterexample jika salah. Jika$p$ adalah bilangan prima ganjil dengan $p ≡ 3(\mod 4)$, kemudian $$(p-1)! + p\mathbb{Z} = (-1)^{(p-1)/2} +p\mathbb{Z}.$$

Bukti. $p ≡ 3(\mod 4)$ menyiratkan $4|p-3$. Teorema Wilson mengatakan: Jika p adalah bilangan prima, maka$$(p-1)! + p\mathbb{Z} = -1 + p\mathbb{Z}$$ atau setara $$(p-1)! ≡ -1(\mod p).$$ Yang terakhir menyiratkan $$p|(p-1)!+1.$$

Saya tidak yakin ke mana harus pergi dari sana, atau apakah itu pendekatan yang benar untuk memulai.

Jawaban

1 SiongThyeGoh Aug 16 2020 at 13:03

Dari Teorema Wilson, kita tahu itu $(p-1)! \equiv -1 \pmod{p}$,

Oleh karena itu, cukup untuk membuktikannya $$(-1)^{\frac{p-1}2}=-1$$

yang setara dengan membuktikan itu $\frac{p-1}2$ adalah bilangan ganjil

Jika $p = 4k+3$, kemudian $$\frac{p-1}{2}=\frac{4k+2}{2}=2k+1$$ yang merupakan bilangan ganjil.