Jika $r>0$ dan $r\notin \mathbb{N}$, apakah ada metode sederhana untuk mengevaluasi $ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} {\binom{n}{r}^{-1}}?$

Dec 13 2020

Membiarkan $r>0,r\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{N}$. Secara empiris, saya telah memperhatikan hubungan berikut:$$ \sum_{n=0}^{\lfloor r \rfloor} \frac{1}{\binom{n}{r}} = - \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}; $$secara khusus, $\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}} =0}$. Perhatikan bahwa jika$r$ adalah bilangan bulat, jumlah yang terbatas tidak terdefinisi dengan baik, meskipun kita punya $$ \sum_{j=0}^{k-1} \operatorname{Res} \left(\frac{1}{\binom{z}{k}},z=j\right)= k\cdot\sum_{m=0}^{k-1}\binom{k-1}{m}(-1)^m=0, $$jadi dalam pengertian ini jumlahnya 'dibatalkan'. Mathematica mengembalikan bentuk tertutup dari$$ \sum_{n=\lceil r \rceil}^{\infty} \frac{1}{\binom{n}{r}}= \frac{\lceil r\rceil }{(r-1) \binom{\lceil r\rceil }{r}}, $$yang kapan $r\in\mathbb{N}$mengurangi pertanyaan ini , tetapi saya tidak tahu bagaimana cara mendapatkannya sendiri. Mungkin saya tidak sepenuhnya memahami jawaban di sana, tetapi saya rasa trik yang sama tidak berlaku jika jumlahnya tidak mencapai teleskop. Singkatnya, pertanyaan saya adalah:

  1. Bisakah seseorang menjelaskan bentuk tertutup?
  2. Adakah alasan konseptual yang sederhana bahwa jumlah terbatas adalah negatif dari jumlah tak hingga?

Jawaban

2 CarlSchildkraut Dec 13 2020 at 08:31

Berikut penghitungan jumlah total dari $n=0$ untuk $\infty$, yang dapat mengarahkan cara untuk menghitung jumlah terbatas. Sejak$$\binom xy\binom yx=\operatorname{sinc}(\pi(x-y)),$$ dimana $\operatorname{sinc}(x)=\sin(x)/x$, kita punya $$\frac{1}{\binom xy}=\binom yx\frac{\pi(x-y)}{\sin(\pi(x-y))};$$ secara khusus, $$\frac{1}{\binom nr}=\binom rn\frac{\pi(r-n)}{\sin(\pi(r-n))}=\pi(r-n)\binom rn\frac{(-1)^n}{\sin \pi r}.$$ Jadi, kami ingin mengevaluasi $$\frac{\pi}{\sin \pi r}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n(r-n)\binom rn.$$ Mempertimbangkan $$f(x)=(1+x)^r=\sum_{n=0}^\infty \binom rnx^n.$$ Kita punya $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\sum_{n=0}^\infty \binom rn\frac{dx^{n-r}}{x}=\sum_{n=0}^\infty \binom rn(n-r)x^{n-r-1};$$ juga, $$\frac{d}{dx}(x^{-r}f(x))=\frac{d}{dx}\left(\frac{1+x}{x}\right)^r=-\frac{r\left(\frac{1+x}{x}\right)^{r-1}}{x^2},$$ dan jadi kami memiliki identitas $$\sum_{n=0}^\infty \binom rn(-1)^n(r-n)\binom rn=(-1)^{r+1}\frac{d}{dx}\left(x^{-r}f(x)\right)\bigg|_{x=-1}=0$$ kapanpun $r>1$.