Jika $\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$. Kemudian hitung $\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$. Sini $i=\sqrt{-1}$
PERTANYAAN: Jika$\text{ }\big(x-\frac{1}x\big)=i\sqrt{2}$ , $\text{ }$lalu hitung $$\bigg(x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}\bigg)$$ Sini $i=\sqrt{-1}$ .
JAWABAN SAYA: Saya telah melakukannya dengan menggunakan rumus Kuadrat dan Teorema De Moivre. Izinkan saya menuliskan pekerjaan saya sebelum saya mengajukan keraguan saya .. Begini cara saya melakukannya ..
Memecahkan persamaan yang kita dapatkan $$x^2-(i\sqrt{2})x-1=0$$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2} \pm \sqrt{(i\sqrt{2})^2+4}}{2} $$ $$\implies x=\frac{i\sqrt{2}\pm\sqrt{2}}{2}$$ Mengambil $x=(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i)=e^{\frac{i\pi}4}$
Sekarang kita tahu itu $2187=(273\times8)+3$
$$\therefore x^{2187}=e^{2187\times \frac{i\pi}4}=e^{(273\times 2\pi + \frac{3\pi}4)i}=e^{\frac{{3\pi}}{4}i}=\frac{i-1}{\sqrt{2}}$$
$$\therefore x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}}= \frac{i-1}{\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{2}}{i-1}$$ $$=\frac{(i-1)^2-2}{(i-1)\sqrt{2}}$$ $$=\frac{2}{\sqrt{2}}\frac{(1+i)}{(1-i)}$$ $$=\frac{\sqrt{2}}{2} (1+i)^2$$ $$=\boxed{\sqrt{2}i}$$
Sekarang pertanyaan pertama saya adalah, relasi kuadrat memberi kita dua nilai yang berbeda$x$. Satu yang telah saya kerjakan untuk mencapai jawabannya$\sqrt {2}i$ Dan lainnya, $\big(-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\big)$yang telah saya tinggalkan. Sekarang bekerja dengan itu saya menemukan bahwa sudutnya ternyata$\frac{\pi}{10}$dan hal-hal menjadi jauh lebih rumit setelah itu. Jawaban resmi untuk pertanyaan ini adalah$\sqrt{2}i$ (yang cocok dengan apa yang saya temukan).
Keraguan saya adalah mengapa kita tidak mempertimbangkan nilai lain dari $x$ ?
Dan apakah ada metode alternatif (sebaiknya lebih sederhana) untuk menyelesaikan yang satu ini?
Terima kasih banyak atas bantuan dan dukungannya .. :)
Jawaban
$2187=3^7$. Ini adalah petunjuk. Kekuatan$3$penting. Sekarang$$\left(x-\frac1x\right)^3=(i\sqrt2)^3=-2i\sqrt2$$ dan $$\left(x-\frac1x\right)^3=x^3-\frac1{x^3}-3\left(x-\frac1x\right) =x^3-\frac1{x^3}-3i\sqrt2.$$ Begitu $$x^3-\frac1{x^3}=i\sqrt2.$$ Mengulangi ini, $$x^9-\frac1{x^9}=i\sqrt2,$$ $$x^{27}-\frac1{x^{27}}=i\sqrt2$$ dll. Akhirnya, $$x^{2187}-\frac1{x^{2187}}=i\sqrt2.$$
Sebenarnya, mudah untuk memverifikasi bahwa kedua nilai tersebut $x$menghasilkan hasil yang sama. Untuk keseluruhan soal, Anda hanya membutuhkan rumus De Moivre dua kali (dua baris kertas tanpa penjelasan).
Untuk $x=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$, Anda telah menunjukkan jawabannya adalah $i\sqrt 2$.
Sekarang, ayo $x=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i=\cos \frac{3\pi}{4} + i\sin \frac{3\pi}{4}$. Menggunakan rumus De Moivre dan fakta bahwa$$z-\frac{1}{z}=2i\sin(\arg(z))$$ Anda mendapatkan $$x^{2187}-\frac{1}{x^{2187}} = x^3-\frac{1}{x^3} = 2i\sin\frac{9\pi}{4}=i\sqrt 2$$ Selesai!