Jumlah cara di mana 3 bola merah identik dan 3 bola putih identik dapat didistribusikan di antara 3 kotak berbeda, tidak ada kotak yang kosong?

Aug 18 2020

Seperti yang disebutkan dalam judul, kita perlu menghitung jumlah cara di mana 3 bola merah identik dan 3 bola putih identik dapat didistribusikan di antara 3 kotak berbeda sehingga tidak ada kotak yang kosong.

Ada beberapa pertanyaan serupa yang diajukan, tetapi tidak ada yang sepenuhnya menjawab pertanyaan khusus ini (sesuai pengetahuan saya).

Saya mencoba melakukan pendekatan ini dengan membuat beberapa kasus, yang akhirnya berhasil. Tetapi saya tidak dapat membuat pendekatan umum untuk, katakanlah n objek identik dari satu tipe dan m objek identik dari tipe lain di p kotak yang berbeda.

Jawaban

2 ChristianBlatter Aug 18 2020 at 17:12

Pada awalnya kita punya $6$bola putih. Kita bisa memiliki$\{4,1,1\}$, $\{3,2,1\}$, atau $\{2,2,2\}$ bola di dalam kotak, dengan $3$, $6$, $1$urutan berbeda dalam tiga kasus. Kami sekarang mengecat tiga dari enam bola merah. Dalam$\{4,1,1\}$ kasus kita bisa melukis tiga dari $4$ merah ($1$ cara), dua dari $4$ merah ($2$ cara), atau salah satu dari $4$ merah ($1$cara); membuat$4$cara. Dalam$\{3,2,1\}$ kasus kita bisa melukis ketiga $3$ merah ($1$ jalan), dua dari tiga merah ($2$ cara), salah satu $3$ merah ($2$ cara), atau tidak satu pun dari $3$ merah ($1$cara); membuat$6$cara. Dalam$\{2,2,2\}$ kasus yang bisa kita buat $2$ dan $1$ bola merah di kotak berbeda ($6$ cara) atau satu bola merah di setiap kotak ($1$cara); membuat$7$ cara.

Semuanya ada $$3\cdot 4+6\cdot 6+1\cdot 7=55$$ distribusi berbeda yang dapat diterima.

1 ȘtefanDumitrescu Aug 18 2020 at 13:47

Kasus A. 4 bola di kotak pertama.

  1. Di dalam kotak kita dapat menemukan 3 bola merah & 1 putih atau 3 bola putih & 1 merah. Ini berarti tepat satu arranjament untuk kotak kedua dan ketiga. Subtotal: 2 permutasi
  2. Di dalam kotak kita dapat menemukan 2 bola merah & 2 bola putih. Ini berarti dua susunan possivle untuk kotak kedua dan ketiga. Subtotal: 2 permutasi
    Total: 4 permutasi

Kasus B. 3 bola di kotak pertama.

  1. 3 merah atau 3 putih. Ini berarti 2 susunan di kotak lainnya. Subtotal: 4 permutasi
  2. 2 merah + 1 putih atau 1 merah + 2 putih. Ini berarti 4 kemungkinan susunan di kotak lain. Subtotal: 8 permutasi
    Total: 12 permutasi

Kasus C. 2 bola di kotak pertama.

  1. 2 merah atau 2 putih. Ini berarti 6 kemungkinan susunan di kotak lain. Subtotal: 12 permutasi
  2. 1 merah & 1 putih. Ini berarti 7 kemungkinan susunan di kotak lain. Subtotal: 7 permutasi
    Total: 19 permutasi

Kasus D. 1 bola di kotak pertama. Hanya satu cara: 1 merah atau 1 putih. Ini berarti 10 kemungkinan susunan di kotak lain.
Total: 20 permutasi

Kesimpulan: 4 + 12 + 19 + 20 = 55kemungkinan permutasi.