Jumlah ekstensi kuadrat tak berbingkai dari bidang angka

Question

Apakah ada rumus umum untuk jumlah ekstensi kuadrat tak berbingkai dari bidang angka $K$?

Kapan $K$ adalah kuadrat, ini dikenal (dengan teori genus) $2^{\omega(\Delta_K)-1}$, dimana $\omega(n)$ menunjukkan jumlah faktor prima yang berbeda dari $n$ dan $\Delta_K$ adalah diskriminan $K$. Saya tertarik dengan hasil saat$K$ lebih tinggi.

Sepertinya masalah ini mungkin jauh lebih sulit dan mungkin berdekatan dengan pemahaman dua torsi kelompok kelas $\text{Cl}_K$(yang tampaknya sulit saat$K$bukan kuadrat), tapi saya cukup baru di area ini dan bisa jadi benar-benar di luar basis. Apakah ada harapan untuk pendekatan yang lebih langsung?

Answer 1

Jawabannya sepertinya tidak.

1. Jumlah ekstensi kuadrat yang tidak dibatasi $K$ sama dengan jumlah indeks-dua subkelompok dari kelompok kelas yang ideal $\text{Cl}_K$ dengan teori bidang kelas.
2. Indeks-dua subkelompok $\text{Cl}_K$ sesuai dengan elemen bukan nol dari $\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$.
3. $\#\text{Hom}(\text{Cl}_K, \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}) = \#\text{Cl}_K[2]$ oleh dualitas Pontryagin, seperti yang ditunjukkan kepada saya oleh @RP_ dan @abx di komentar.
4. Masalah menghitung (atau bahkan membatasi) ukuran $\#\text{Cl}_K[2]$ kapan $K$bukan perpanjangan kuadrat yang tampaknya sedang dipelajari secara aktif dan tampaknya menjadi masalah yang menantang secara umum.