Jumlah yang melibatkan variabel acak iid Poisson

Aug 18 2020

Seharusnya $X_i \stackrel{\text{iid}}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)$ dan pertimbangkan $Y_n \equiv \sum_{i=1}^n \frac{X_i - \lambda}{i}$

Saya ingin menunjukkan itu $Y_n$ konvergen hampir pasti tetapi menyimpang dalam nilai absolut hampir pasti, yaitu $$(1) \quad Y_\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} (X_i - \lambda) \text{ exists a.s., but } (2) \quad A_\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} |X_i - \lambda| \text{ diverges a.s.} $$

$(1)$ dapat dilihat sebagai konsekuensi mudah dari dua teorema deret Kolmogorov. $Z_i \equiv (X_i -\lambda)/i$ memiliki $E(Z_i) = 0$ dan $\text{Var}(Z_i) = \lambda/i^2$ jadi keduanya $\sum E(Z_i), \sum \text{Var}(Z_i)$ adalah seri konvergen.

Saya tidak 100% yakin bagaimana melanjutkannya $(2)$, tetapi mungkin argumen berikut berhasil:

Jika $\lambda \not \in \mathbb{N}$, kami segera memiliki $|X_i - \lambda| \ge \min \{\lceil{\lambda} \rceil - \lambda, \lambda - \lfloor{\lambda} \rfloor\} \equiv c > 0$ untuk setiap $i$hampir pasti. Jadi$$A_\infty \ge c \sum_{i \ge 1} \frac{1}{i} = \infty$$

Sekarang jika $\lambda \in \mathbb{N}$, segala sesuatunya menjadi lebih rumit mencoba melakukan ini dengan ketat bahkan ketika masalahnya secara intuitif sama. Mungkin kita perlu menggunakan teorema tiga seri Kolmogorov? Kami tahu itu jika$A_\infty$ ada sebagai batas hampir pasti, lalu untuk setiap $t \in (0, \infty)$ kita harus punya $$S(t) \equiv \sum_{i = 1}^\infty \frac{1}{i} E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq i t)) < \infty $$

Memilih $t = 2$ dan kami jelas punya $\mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2) \leq \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2i)$ sebagai $2i \ge 2$. Selanjutnya,$$\forall i \in \mathbb{N}, \quad E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2))\ge 2P(X_i = \lambda +2) \equiv \delta > 0$$ jadi akhirnya kami dapatkan $$\infty = \delta \sum_{i \ge 1} \frac{1}{i} \leq \sum_{i \ge 1} E(|X_i - \lambda| \mathbf{1}(|X_i - \lambda| \leq 2) \leq S(2)$$jadi kami memiliki kontradiksi dan kami dapat menyimpulkan. Apakah ini berhasil?

Jawaban

shalop Aug 18 2020 at 19:01

Berikut cara cepat untuk melakukan bagian (2).

Membiarkan $\xi_i:= |X_i-\lambda|$. Kemudian$\sum_{i=1}^{\infty} \frac1i (\xi_i-\Bbb E[\xi_i])$konvergen dengan alasan yang sama seperti pada bagian (1). Catat itu$\sum_1^n \frac1i \Bbb E[\xi_i] \sim \Bbb E[\xi_1]\log n$.

Demikian untuk hampir setiap $\omega$ kami melihat itu $\big(\sum_{i=1}^n \frac1i \xi_i(\omega)\big) - \Bbb E[\xi_1]\log n$ adalah urutan konvergen (karena itu dibatasi), yang menyiratkan itu $\sum_1^n \frac1i \xi_i(\omega)$ menyimpang pada set yang sama $\omega$.