Kapan kerucutnya $C(X)$ di ruang yang padat secara lokal?
Ada beberapa pertanyaan di forum ini menangani kasus-kasus khusus dari pertanyaan ini, misalnya ini untuk$X = \mathbb Z$dan ini untuk$X = \mathbb R$. Pertanyaanku adalah
Apa yang diperlukan dan kondisi yang cukup $X$ yang menjamin kekompakan lokal kerucut $C(X) = (X \times I)/(X \times \{1\})$?
Jawabannya mungkin bergantung pada definisi yang tepat dari kekompakan lokal. Berikut dua variannya:
$X$ kompak secara lokal jika masing-masing $x \in X$ memiliki lingkungan yang kompak.
$X$ kompak secara lokal jika masing-masing $x \in X$ memiliki dasar lingkungan yang terdiri dari set kompak.
Jelas 2. lebih kuat dari 1. Jika "kompak" diasumsikan menyertakan "Hausdorff", maka 1. dan 2. adalah ekuivalen. Hal yang sama berlaku untuk Hausdorff$X$ independen dari interpretasi "kompak".
Pembaca didorong untuk menggunakan interpretasi favoritnya.
Kondisi yang cukup jelas adalah ini:
Jika $X$ kompak, lalu $C(X)$ kompak dan dengan demikian kompak secara lokal dalam arti 1. Jika $X$ adalah Hausdorff yang padat, kalau begitu $C(X)$ adalah Hausdorff yang padat dan dengan demikian kompak secara lokal dalam arti 2.
Demikian pula, kondisi penting yang jelas adalah ini:
Jika $C(X)$ jadi kompak secara lokal $X$ kompak secara lokal.
Faktanya, $X$ bersifat homeomorfik ke pangkalan $X \times \{0\}$ dari $C(X)$ yang ditutup $C(X)$, sehingga kompak secara lokal.
Jika $X$ kompak secara lokal, maka jelas ruang bagian terbuka $C(X) \setminus \{*\} \approx X \times [0,1)$ kompak secara lokal, di mana $*$ adalah ujung dari $C(X)$, yaitu kelas kesetaraan umum dari titik-titik dalam $X \times \{1\}$.
Tampaknya bagi saya bahwa non-kompak $X$tidak dapat memiliki kerucut padat lokal. Alasannya adalah jika$C(X)$ jadi kompak secara lokal $*$harus memiliki lingkungan yang kompak. Saya dapat membuktikan sebagian hasil (lihat jawaban saya atas pertanyaan saya sendiri). Tapi saya tertarik apakah ada teorema yang lebih umum.
Jawaban
Berikut ini sebagian jawaban.
Membiarkan $X$menjadi ruang paracompact yang normal (termasuk Hausdorff). Maka berikut ini adalah eqiuvalent:
$X$ kompak.
$C(X)$ kompak.
$C(X)$ kompak secara lokal.
Ini berlaku untuk semua ruang Paracompact Hausdorff $X$, khususnya untuk semua metrizable $X$.
Kesetaraan 1. dan 2. jelas, dan 2. menyiratkan 3. Tetap menunjukkan bahwa 3. menyiratkan 1. Strategi kami adalah menanamkan $X$ sebagai bagian tertutup dari lingkungan yang kompak dari ujung $*$ dari $C(X)$. Ini akan dilakukan dengan menggeser alasnya$X \times \{0\}$ dari $C(X)$ menuju $*$.
Membiarkan $U$ menjadi lingkungan terbuka $*$ di $C(X)$ dengan penutup kompak $K \subset C(X)$. Jika$p : X \times I \to C(X)$ menunjukkan peta hasil bagi, lalu $V = p^{-1}(U)$ adalah lingkungan terbuka $X \times \{1\}$ di $X \times I$. Untuk setiap$x \in X$ membiarkan $f(x) = \inf\{ t \in I \mid \{x \} \times [t,1] \subset V \}$. Jelas$0 \le f(x) < 1$ karena $V$terbuka. Bahkan$\{x \} \times (f(x),1] \subset V$. Fungsinya$f$ adalah semikontinyu atas: Let $f(x) < r$. Memilih$t$ seperti yang $f(x) < t < r$. Kemudian$\{x \} \times [t,1] \subset V$ dan dengan demikian ada lingkungan yang terbuka $W_x$ dari $x$ di $X$ seperti yang $W_x \times [t,1] \subset V$. Kemudian$f(y) \le t < r$ untuk $y \in W_x$. Sejak$f(x) < 1$ untuk semua $x$ dan fungsi konstanta $1$ lebih rendah semikontinyu, sebuah teorema yang dibuktikan secara independen oleh Dowker (lihat "Pada ruang parakompak yang dapat dihitung." Jurnal Matematika Kanada 3 (1951): 219-224 / Teorema 4) dan oleh Katetov (lihat "Pada fungsi bernilai nyata di topologi spasi. "Fund. Math. 38 (1951): 85-91 / Teorema 2) mengatakan bahwa ada $h : X \to \mathbb R$ seperti itu $f(x) < h(x) < 1$ untuk semua $x$. Menetapkan$H : X \to C(X), H(x) = p(x,h(x))$. Ini adalah embedding: Faktanya, pembatasan$\bar p : X \times [0,1) \stackrel{p}{\to} C(X)$ adalah embedding dan $\bar h : X \to X \times [0,1), \bar h(x) = (x,h(x))$, adalah embedding. Bahkan,$H(X)$ ditutup $C(X)$ dan $\bar h(X) \subset V$, jadi $H(X) \subset U \subset K$. Kami menyimpulkan itu$H(X)$kompak. Karena itu$X$ kompak.
Memperbarui:
Teorema di atas mengatakan bahwa ruang parakompak normal (termasuk Hausdorff) terhitung $X$ yang tidak kompak tidak dapat memiliki kerucut padat lokal.
Dalam kasus khusus a$\sigma$- Hausdorff yang kompak secara lokal $X$ kami dapat memberikan bukti alternatif yang tidak menggunakan "teorema sandwich" di atas untuk fungsi semikontinu atas dan bawah.
Jadi biarkan $C(X)$ menjadi kompak secara lokal, $U$ menjadi lingkungan terbuka $*$ di $C(X)$ dengan penutup kompak $K \subset C(X)$ dan $V = p^{-1}(U)$ yang merupakan lingkungan terbuka $X \times \{1\}$ di $X \times I$.
Kita punya $X = \bigcup_{n=1}^\infty K_n$ dengan kompak $K_n \subset X$ seperti yang $K_n \subset \operatorname{int}K_{n+1}$. Di sana ada terbuka$W_n \subset X$ dan $t_n \in (0,1)$ seperti yang $K_n \times \{1\} \subset W_n \times (t_n,1] \subset V$. Wlog mungkin kita asumsikan berurutan$(t_n)$tidak menurun. Catat itu$s_n = (1+t_n)/2$ terkandung dalam $(t_n,1)$. Membiarkan$B_n = \operatorname{bd} K_n$ yang kompak (tapi mungkin kosong; dalam hal ini $K_n$adalah clopen). Set$C_n = K_n \setminus \operatorname{int}K_{n-1}$ kompak dan berisi set terputus-putus $B_n$ dan $B_{n-1}$ (secara resmi kami tetapkan $K_0 = \emptyset$). Kami secara induktif membangun terus menerus$f_n : C_n \to I$ sebagai berikut: Untuk $n=1$ membiarkan $f_1(x) = s_2$. Diberikan$f_1,\ldots, f_n$ seperti yang $f_i(x) = s_i$ untuk $x \in B_{i-1}$, $f_i(x) = s_{i+1}$ untuk $x \in B_i$ dan $f_i(x) \in [s_i,s_{i+1}]$ untuk semua $x \in C_i$ kami menggunakan teorema Urysohn untuk menemukan $f_{n+1} : C_{n+1} \to I$ seperti yang $f_{n+1}(x) = s_{n+1}$ untuk $x \in B_n$, $f_{n+1}(x) = s_{n+2}$ untuk $x \in B_{n+1}$ dan $f_{n+1}(x) \in [s_{n+1},s_{n+2}]$ untuk semua $x \in C_{n+1}$. Koleksi dari semua ini$f_n$, $n \in \mathbb N$, dapat disisipkan ke kontinu $f : X \to I$ memiliki properti itu $(x,f(x)) \in V \setminus X \times \{1\}$. Faktanya, untuk$x \in C_n$ kita punya $f(x) = f_n(x) \in [s_n,s_{n+1}] \subset (t_n,1)$ dan dengan demikian $(x,f(x)) \in C_n \times (t_n,1) \subset W_n \setminus X \times \{1\} \subset V \setminus X \times \{1\}$. Dengan konstruksi$X' = \{(x,f(x)) \mid x \in X \}$ adalah himpunan bagian tertutup dari $C(X)$ yang merupakan homeomorfik $X$ dan, menjadi bagian tertutup dari $K$, kompak.