Kebalikan dari distribusi delta Delta

Question

Distribusi delta dirac multivariat dapat - lebih atau kurang secara intuitif - dinyatakan sebagai

\begin{align} \delta(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow0} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

dimana

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \delta(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

Apakah ada "kebalikan" dari itu, yang dapat diekspresikan sebagai

\begin{align} \epsilon(\mathbf x) = \begin{cases} \lim\limits_{a\rightarrow\infty} \quad \dfrac{1}{a^n} & \forall x_i \in [-\frac a2,\frac a2], 1\le i\le n \\[6pt] \quad 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{align}

dimana juga

$$ \int_{-\infty}^{\infty}\cdots\int_{-\infty}^{\infty} \epsilon(\mathbf x) \text{ d}\mathbf x = 1 $$

?

Apakah ada nama untuk distribusi dan / atau simbol ini?

Untuk konteks: Saya berencana menggunakannya dalam konvolusi dan saya memperlakukannya sebagai kepadatan probabilitas.

Answer 1

Keduanya membatasi $$\lim_{a\to 0} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}, \qquad \lim_{a\to \infty} a^{-n} 1_{x\in [-a/2,a/2]^n}$$adalah definisi distribusi yang sangat teliti, yang pertama menyatu dalam arti distribusi menjadi$\delta$ dan yang kedua $0$.