Kebingungan tentang definisi (dalam teori ΨDO) ruang Sobolev pada set terbuka di ruang Euclidean

Question

Saya sedang membaca Pseudodifferential Operator oleh ME Taylor, di mana penulis berbicara tentang$H^s(\Omega)$ untuk $s\in\mathbb{R}$ dan $\Omega\subset\mathbb{R}^n$himpunan terbuka (misalnya, dalam pernyataan ketidaksetaraan Gårding) tanpa pernah mendefinisikannya. Memang, dia hanya mendefinisikan ruang Sobolev seperti itu$\mathbb{R}^n$dan lipatan kompak. Dalam kedua kasus ini, seseorang memiliki file$s$-pesan operator pseudodifferential $\Lambda^s$ (dengan simbol utama $\langle\xi\rangle^s$) yang menginduksi isomorfisme $H^s\to L^2$. Ini bisa dianggap sebagai definisi$H^s$. Namun, saya tidak tahu bagaimana melakukan hal yang sama untuk set terbuka umum di ruang Euclidean. Beberapa pemikiran:

1. Pada hal.51, penulis menyatakan bahwa ini dilakukan dengan cara mengubah $\Lambda$agar didukung dengan benar. Namun, saya tidak yakin apa yang dia maksud dengan ini.
2. Mungkin seseorang dapat menggunakan kalkulus fungsional pada Laplacian standar $\Delta$. Ada beberapa masalah dengan pendekatan ini: (a) Saya perlu$\Delta^{s/2}$ untuk didefinisikan pada ruang distribusi (sehingga definisinya menjadi seperti: distribusi $u$ Milik $H^s$ jika $\Delta^{s/2}u\in L^2$), tetapi kalkulus fungsional hanya mendefinisikannya pada subruang $L^2$. (b) Apakah$\Delta^{s/2}$ benar-benar operator pseudodifferential dengan simbol yang benar?

Jadi apa definisi yang benar dalam konteks ini? Bantuan apa pun akan dihargai!

Answer 1

1. Definisi khas ruang Sobolev

Untuk subset terbuka umum $\Omega$ (tanpa asumsi keteraturan pada batasnya), ruang Sobolev $H^s(\Omega)$ pertama kali ditentukan untuk $s\in \mathbb{N}$ (dengan cara yang jelas: turunan sesuai pesanan $s$ akan masuk $L^2$) dan untuk umum $s\in \mathbb{R}$ melalui interpolasi / dualitas.

Namun, jika $\partial \Omega$ cukup teratur ada cara yang lebih mudah: Mari kita asumsikan untuk kesederhanaan itu $\partial \Omega \in C^\infty$, lalu yang biasanya didefinisikan $H^s(\Omega)$ sebagai ruang distribusi $\Omega$ yang mengakui perpanjangan ke $\mathbb{R}^d$ yang terletak di $H^s(\Omega)$. Setara$H^s(\Omega)=rH^s(\mathbb{R}^d)\subset\mathcal{D}'(\Omega)$, dimana $r:\mathcal{D}'(\mathbb{R}^d)\rightarrow \mathcal{D}'(\Omega)$adalah operator pembatasan. Ini menghasilkan ruang yang sama seperti di paragraf pertama.

Sebagai referensi tentang hal-hal ini saya dapat merekomendasikan buku PDE Taylor, yang memiliki seluruh bab tentang berbagai definisi ruang Sobolev. (Juga untuk$\mathbb{R}^d$ diganti dengan manifold tertutup).

1. Sisik elips

Sekarang, mengenai komentar di didukung dengan benar $\psi$do's $\Lambda^s$ Anda dapat mempertimbangkan Lemma 7.1 di Shubin's $\psi$lakukan buku. Memang, ini menyatakan bahwa pada ragam yang sewenang-wenang$X$ (secara khusus Anda bisa mengambil $X=\Omega$) bahwa ada skala operator yang didukung dengan baik $\Lambda^s\in \Psi^s_{\mathrm{cl}}(X)$(subskrip menunjukkan klasikitas) dengan simbol prinsip positif. Shubin kemudian mendefinisikan spasi Sobolev lokal dengan$H^s_\mathrm{loc}(X)=\{u\in \mathcal{D}'(X): \Lambda^su\in L^2_{\mathrm{loc}}(X)\}$ dan membuktikan bahwa ini setara dengan beberapa definisi lainnya.

Intinya adalah, untuk lipatan umum (non-kompak) ini sebaik yang didapat: Tidak ada gagasan tentang $H^s(X)$tanpa menentukan perilaku fungsinya di tak terbatas. Jika$X$ kebetulan merupakan subset terbuka dari $\mathbb{R}^d$ atau manifold tertutup, perilaku di tak terhingga (atau lebih tepatnya di batas) ditentukan dengan mengharuskan fungsi dapat diperpanjang melintasi $\partial X$ dan kami berada dalam pengaturan beberapa paragraf pertama.

Bagaimana jika $X$ memiliki metrik Riemannian $g$? Saya kira dalam hal ini orang bisa mendefinisikan$H^s(X,g)$ untuk $s\in \mathbb{N}$ dengan meminta fungsinya untuk memuaskan $X_1\dots X_k f \in L^2(M,g)$ untuk bidang vektor apa pun $X_1,\dots,X_k$ $(0\le k \le s)$ yang memuaskan $\vert X_i \vert_g\in L^\infty(X)$. Untuk non-integer$s$ kemudian melalui interpolasi \ dualitas.

Jika $(X,g)$ kebetulan selesai (seperti $\mathbb{R}^d$), lalu Gaffney menunjukkan bahwa Laplacian $1+\Delta_g$ memiliki realisasi self-adjoint yang unik di $L^2(X,g)$ dan saya kira orang bisa menyebut domainnya $\tilde H^2(X,g)$. Hal yang sama berlaku untuk kekuatannya dan dengan demikian kita dapat mendefinisikannya$\tilde H^s(X,g)$ untuk $s\in 2\mathbb{N}$ dan meluas ke umum $s$dengan interpolasi / dualitas. Saya tidak akan terkejut (tetapi belum memeriksanya), jika memang$H^s(X,g)=\tilde H^s(X,g)$ dalam hal itu.

1. Kekuatan yang kompleks

Anda tertarik apakah Anda dapat menentukan ruang Sobolev di $\Omega$melalui kekuatan Laplacian. Lebih masuk akal untuk mengambil kekuatan$P=1+\Delta$ (dalam analogi dengan $\mathbb{R}^d$) dan memang ada teori bagus yang memberi tahu Anda bahwa ini mungkin, setidaknya jika Anda berada pada manifold tertutup. Jadi anggaplah begitu$\Omega$ tinggal di dalam lipatan Riemannian tertutup $(M,g)$ (dan $\partial \Omega \in C^\infty)$, kemudian $P^z$ didefinisikan untuk semua $z\in \mathbb{C}$ dan merupakan klasik $\psi$melakukan pesanan $\mathrm{Re}(z)$dengan sifat aljabar yang jelas. (Ini karena Seeley, tetapi Anda dapat menemukan akun yang bagus tentang itu di buku Shubin).

Sekarang Anda mungkin ingin mendefinisikan $H^s(\Omega)=\{f:P^s f\in L^2(\Omega,g)\}$ dan setidaknya untuk $s\in \mathbb{N}$ ini memberikan yang sama seperti yang didefinisikan di awal, yaitu $H^s(\Omega) = r H^s(M)$. Kriteria yang cukup untuk disetujui oleh kedua ruang tersebut adalah$P^s$memenuhi apa yang disebut kondisi transmisi pada$\partial \Omega$: Ini adalah Definisi 18.2.13 di Hörmander dan mengatakan itu $rP^se_0(C^\infty(\bar \Omega)) \subset C^\infty(\bar \Omega)$, dimana $e_0$menunjukkan ekstensi dengan nol. Sekarang untuk kekuatan bilangan bulat positif$P^s$adalah operator diferensial dan dengan jelas memenuhi kondisi tersebut. Untuk pangkat non-integer ini mungkin gagal, seperti yang disebutkan di awal halaman 184 di sini . Hanya ini yang bisa saya katakan tentang itu saat ini.