Kebingungan tentang kelanjutan analitik.
Definisi lanjutan analitik dari fungsi holomorfik dinyatakan sebagai berikut:
Membiarkan$f_{1}$dan$f_{2}$menjadi dua fungsi analitik pada dua domain (terbuka dan terhubung)$\Omega_{1}$dan$\Omega_{2}$seperti yang$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}\neq\varnothing$. Jika$f_{1}$dan$f_{2}$setuju$\Omega_{1}\cap \Omega_{2}$, kami bilang$f_{2}$adalah kelanjutan analitik dari$f_{1}$di$\Omega_{2}$, dan sebaliknya.
Versi yang lebih kecil adalah:
Jika$f$analitik pada domain$D\subset\mathbb{C}$dan$F$analitik pada domain yang lebih besar$E\subset\mathbb{C}$seperti yang$f=F$di$D\subset E,$kemudian$F$adalah kelanjutan analitik dari$f$di$E$.
Dari apa yang saya baca, teknik semacam ini memungkinkan kita untuk mendefinisikan fungsi dalam domain yang lebih kecil dan memperluasnya secara analitis ke domain yang lebih besar. Tapi saya tidak mengerti mengapa definisi ini memungkinkan kita untuk melakukannya.
Yang membingungkan saya adalah definisi itu hanya menjamin$f=F$di persimpangan$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, jadi mungkin$f\neq F$di$\Omega_{2}$, lalu bagaimana saya tahu$f$analitik aktif$\Omega_{2}\setminus\Omega_{1}$?
Saya mencoba menggunakan teorema identitas sebagai berikut:
Membiarkan$f$dan$g$menjadi dua fungsi holomorfik pada domain$D$seperti yang$f=g$pada himpunan bagian$S\subset D$yang mengandung titik limit, maka$f=g$secara keseluruhan$D$.
Tapi ini sepertinya mundur. Dengan hipotesis kelanjutan analitik, kita hanya memiliki$f=g$di$S$, dan$g$analitik aktif$D$, kita tidak benar-benar tahu jika$f$analitik secara keseluruhan$D$(inilah tujuan dari kelanjutan analitik, kan? untuk memperluas$f$secara analitis secara keseluruhan$D$.)
Apakah saya terlalu memikirkan ini dan membingungkan diri saya sendiri?? Saya kira kita harus memiliki, katakan$f_{1}=f_{2}$secara keseluruhan$\Omega_{1}\cup\Omega_{2}$, tapi saya tidak tahu bagaimana membuktikannya.
Sunting 1: (Beberapa Klarifikasi, Kemungkinan Jawaban dan Referensi)
Saya minta maaf jika saya mengajukan pertanyaan yang membingungkan (buruk). Kebingungan saya adalah bahwa, meskipun ada kelanjutan analitik, saya tidak berpikir itu berarti sesuatu yang membantu. Itu hanya memberi kita fungsi analitik$F$pada domain yang lebih besar$\Omega_{2}$seperti yang$F|_{\Omega_{1}}=f$untuk$\Omega_{1}\subset\Omega_{2}$. Tapi itu tidak mengatakan apa-apa tentang$f$,$f$masih dalam$\Omega_{1}$. Jadi saya tidak mengerti mengapa kelanjutan analitik dapat memperluas domain yang$f$bersifat analitik.
Buku "Analisis dan Aplikasi Kompleks" oleh Hemant Kumar Pathak, memiliki bab tentang kelanjutan analitik.
Seperti yang disarankan Jose, tidak masuk akal untuk mengatakan$f=F$di$\Omega_{2}$, karena$f$aktif$\Omega_{1}$.
Buku ini menjelaskan bahwa jika kita memiliki kelanjutan analitik dari$f_{1}$dari$\Omega_{1}$ke dalam$\Omega_{2}$melalui$\Omega_{1}\cap\Omega_{2}$, maka nilai agregat dari$f_{1}$di dalam$\Omega_{1}$dan$f_{2}$di dalam$\Omega_{2}$dapat dianggap sebagai fungsi tunggal$f(z)$analitis dalam$D_{1}\cup D_{2}$seperti yang$$f(z)=\left\{ \begin{array}{ll} f_{1}(z), z\in D_{1}\\ f_{2}(z), z\in D_{2} \end{array} \right.$$
Ini sebenarnya menjelaskan hal-hal. Ini seperti yang kami lakukan ketika kami ingin menghilangkan singularitas: jika$f_{1}$memiliki singularitas yang dapat dilepas di$z_{0}$, maka kita benar-benar memperpanjang$f_{1}$ke$f$dengan mendefinisikan$$f(z)=f_{1}(z), z\neq z_{0}\ \ \text{and}\ \ f(z_{0})=\lim_{z\rightarrow z_{0}}f_{1}(z).$$
Jadi, kami benar-benar memperpanjang$f_{1}(z)$ke$f(z)$, tidak untuk$f_{2}(z)$. Kami agak lengkap$f_{1}(z)$ke dalam$\Omega_{2}$dengan mendefinisikan$f(z)$.
Saya harap penjelasan saya dapat membantu orang lain yang mempelajari analisis kompleks dan menemukan kelanjutan analitik membingungkan.
Jangan ragu untuk menambahkan apa pun lagi!
Jawaban
Teorema-teorema itu bukan tentang perluasan fungsi analitik, dalam arti bahwa teorema itu bukan tentang kemungkinan perluasan fungsi semacam itu. Apa yang mereka katakan adalah bahwa Anda dapat memperluas fungsi analitik, paling banyak dengan satu cara. Jadi, ini tentang keunikan ekstensi, bukan tentang keberadaannya .
Untuk lebih tepatnya, mereka mengatakan bahwa jika$\Omega_1$dan$\Omega_2$adalah domain, dengan$\Omega_1\subset\Omega_2$, dan jika$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$adalah fungsi analitik, maka paling banyak ada fungsi analitik$F\colon\Omega_2\longrightarrow\Bbb C$yang batasannya untuk$\Omega_1$adalah$f$. Tetapi sangat mungkin bahwa tidak ada! Itu terjadi jika, misalnya,$\Omega_1=D(0,1)$,$\Omega_2=\Bbb C$dan$f\colon\Omega_1\longrightarrow\Bbb C$didefinisikan oleh$f(z)=\frac1{z-2}$.