Kebingungan tentang lemma Yoneda
Membiarkan $C$ menjadi kategori dan $F$ presheaf pada $C$. The Yoneda lemma menyatakan bahwa transformasi alam$C(-, A)\Rightarrow F$ berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan elemen $F(A)$.
Bagi saya, pernyataan ini terasa tidak termotivasi. Saya tahu itu jika kita mempertimbangkan kasus khusus$F=C(-, B)$, lalu (oleh lemma Yoneda) $C(-, -)$ menghasilkan embedding (yaitu, fungsi penuh dan setia) dari $C$ ke dalam kategori pra-daun pada $C$. Ini terasa cukup termotivasi, sejak penyematan$C$ ke dalam kategori pra-daun pada $C$ terasa seperti menyematkan bidang $k$ ke dalam penutupan aljabar $\bar{k}$. Selain itu, kategori presheaves juga dirasa lebih konkret dibandingkan dengan kategori abstrak$C$.
Tetapi mengapa orang tertarik dengan pernyataan umum di mana $F$bisa jadi presheaf apapun. Mengapa ini pernyataan yang wajar? Bagaimana seseorang mendapat ide untuk mempertimbangkan lemma Yoneda seperti yang disebutkan di atas?
Saya punya pertanyaan lain tentang lemma Yoneda. Seperti yang saya katakan, salah satunya memiliki embedding$C$ ke $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ (kategori pra-daun aktif $C$). Dengan mempertimbangkan fungsi kovarian$C\to\mathbf{Sets}$ selain presheaves, kita juga dapat membuktikan versi kovarian dari lemma Yoneda, yang menyatakan bahwa transformasi alami $C(A, -)\Rightarrow F$ (untuk $F\colon C\to \mathbf{Sets}$ semua functor) berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan elemen $F(A)$. Dari sini mendapatkan embedding$C$ ke $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$.
Singkatnya, seseorang bisa menyematkan $C$ menjadi keduanya $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ dan $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$. Pertanyaan: Bagaimana$[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ dan $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$ berhubungan satu sama lain?
Yang menurut saya agak aneh tentang situasinya: Awalnya, saya harapkan $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$ dan $[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}$menjadi setara. Tapi fakta umumnya adalah itu$$[C, D]^\text{op}\cong [C^\text{op}, D^\text{op}],$$ jadi $$[C, \mathbf{Sets}]^\text{op}\cong[C^\text{op}, \mathbf{Sets}^\text{op}],$$ yang mana bukan $[C^\text{op}, \mathbf{Sets}]$.
Jawaban
Inilah satu kemungkinan jawaban untuk pertanyaan ini.
Mari kita ambil sudut pandang bahwa functor adalah representasi dari kategori.
Pertama, mengapa ini masuk akal?
Ingatlah bahwa kategori adalah generalisasi dari monoid (dan juga kelompok), karena kategori satu objek sama dengan monoid. Jika$M$ adalah monoid, lalu kita dapat menentukan kategori, $C$, dengan satu objek, $*$, set hom $C(*,*)=M$, dan satuan dan komposisi diberikan oleh satuan dan perkalian in $M$. Sebaliknya, kategori objek diberi satu$C$, $C(*,*)$ adalah sebuah monoid dengan komposisi sebagai perkalian, dan konstruksi ini saling berlawanan.
Mulai sekarang, jika $M$ adalah monoid, atau $G$ adalah grup, saya akan menulis $BM$ atau $BG$ untuk satu kategori objek yang sesuai.
Sekarang, bagaimana dengan functors? Nah, apa itu functor$[BG,k\newcommand\Vect{\text{-}\mathbf{Vect}}\Vect]$?
Nah, kita perlu memilih ruang vektor $V$ mengirim $*$ untuk, dan kita perlu memilih homomorfisme monoid $G\to \newcommand\End{\operatorname{End}}\End V$. Sejak$G$ adalah grup, ini setara dengan homomorfisme grup $G\to \operatorname{GL}(V)$. Dengan kata lain, functor dari$BG$ untuk $k\Vect$ persis sama dengan representasi grup linier, dan Anda dapat memeriksa bahwa transformasi natural dari functor sama persis dengan $G$peta linier -equivariant.
Begitu pula saat kita mengganti $k\Vect$ dengan $\newcommand\Ab{\mathbf{Ab}}\Ab$, atau $\newcommand\Set{\mathbf{Set}}\Set$, kita mendapatkan $G$-modul dan $G$-set masing-masing.
Secara khusus, ini semua tersisa $G$-aksi, sebagai functor $F:BG\to \Set$ komposisi harus dipertahankan, jadi $F(gh)=F(g)F(h)$, dan kami mendefinisikan $g\cdot x$ oleh $F(g)(x)$. Jadi$(gh)\cdot x = g\cdot (h\cdot x))$.
Functor kontravarian $\newcommand\op{\text{op}}BG^\op\to \Set$ memberi hak $G$-aksi, sejak sekarang $F(gh)=F(h)F(g)$, jadi jika kita definisikan $x\cdot g = F(g)(x)$, maka kita punya $$x\cdot (gh) =F(gh)(x) = F(h)F(g)x = F(h)(x\cdot g) = (x\cdot g)\cdot h.$$
Jadi kita harus memikirkan fungsi kovarian $[C,\Set]$ sebagai kiri $C$-aksi dalam $\Set$, dan kita harus memikirkan fungsi kontravarian $[C^\op,\Set]$ sebagai benar $C$-aksi dalam $\Set$.
Yoneda Lemma dalam Konteks
Presheave yang dapat direpresentasikan sekarang sesuai dengan objek bebas dalam satu variabel dalam pengertian berikut.
Lemma Yoneda adalah bahwa kita memiliki isomorfisme alami $$ [C^\op,\Set](C(-,A),F)\simeq F(A)\simeq \Set(*,F(A)). $$
Dengan kata lain, $C(-,A)$ terlihat sangat mirip dengan adjoint kiri ke functor "pelupa" yang mengirim presheaf $F$ untuk evaluasinya di $A$, $F(A)$, tetapi dievaluasi pada set tunggal $*$.
Bahkan, kita bisa berpaling $C(-,A)$ menjadi adjoint kiri penuh dengan mencatat itu $$\Set(S,F(A)) \simeq \prod_{s\in S} F(A) \simeq \prod_{s\in S}[C^\op,\Set](C(-,A),F) \simeq [C^\op,\Set](\coprod_{s\in S} C(-,A), F),$$ dan $\coprod_{s\in S} C(-,A)\simeq S\times C(-,A)$.
Jadi salah satu cara untuk menyatakan lemma Yoneda adalah itu $S\mapsto S\times C(-,A)$ dibiarkan bersebelahan dengan evaluasi pada $A$functor (dalam arti bahwa dua pernyataan setara melalui bukti singkat). Kebetulan, ada juga hak tambahan untuk evaluasi di$A$functor, lihat di sini untuk argumennya.
Mengaitkan ini kembali ke gagasan yang lebih akrab
Hal pertama yang perlu diperhatikan dalam sudut pandang ini adalah bahwa kita sekarang memiliki pengertian tentang "bebas pada suatu objek" daripada hanya "gratis." Yaitu, saya cenderung memikirkan$C(-,A)$ sebagai presheaf gratis dalam satu variabel di $A$ (ini bukan terminologi standar, hanya bagaimana saya memikirkannya).
Sekarang kita harus berhati-hati, objek bebas bukan hanya objek, itu objek dan basis . Dalam hal ini, basis kami (elemen yang secara bebas menghasilkan presheaf) adalah elemen identitas$1_A$.
Berpikir seperti ini, bukti dari lemma Yoneda semoga lebih intuitif. Bagaimanapun, bukti dari Yoneda lemma adalah sebagai berikut:
$C(-,A)$ dihasilkan oleh $1_A$, sejak $f^*1_A=f$, untuk apa saja $f\in C(B,A)$, transformasi yang begitu alami $C(-,A)$ untuk $F$ secara unik ditentukan oleh ke mana mereka mengirim $1_A$. (Analog dengan ucapan$1_A$ rentang $C(-,A)$). Apalagi pilihannya pun$\alpha\in F(A)$ ke mana harus mengirim $1_A$ valid, karena kita dapat mendefinisikan transformasi alami dengan "memperluas secara linier" $f=f^*1_A \mapsto f^*\alpha$ (Ini analog dengan mengatakan $1_A$ independen linier, atau membentuk basis).
Versi kovarian dari lemma Yoneda adalah ide yang sama persis, kecuali bahwa kita sekarang bekerja dengan representasi kiri dari kategori kita.
Contoh lemma Yoneda dalam konteks yang lebih akrab
Pertimbangkan kategori satu objek $BG$, kemudian lemma Yoneda mengatakan bahwa representasi reguler yang tepat $G$ adalah hak bebas $G$-set dalam satu variabel (dengan elemen basis menjadi identitas, $1_G$). (Yang gratis masuk$n$-variabel adalah gabungan dari $n$ salinan dari perwakilan reguler yang tepat.)
Pernyataan embedding sekarang adalah $G$ dapat disematkan ke $\operatorname{Sym}(G)$ melalui $g\mapsto -\cdot g$.
Ini juga berfungsi dalam konteks yang diperkaya. Cincin tepatnya adalah kategori satu objek yang diperkaya dalam kelompok abelian, dan lemma Yoneda dalam konteks ini mengatakan bahwa tindakan yang benar$R$ pada dirinya sendiri (sering dilambangkan $R_R$) adalah hak bebas $R$-module dalam satu variabel, dengan basis sebagai elemen unit $1_R$. (Yang gratis masuk$n$-variabel sekarang adalah jumlah langsung dari $n$ salinan $R_R$)
Pernyataan embedding di sini adalah itu $R$ dapat ditanamkan ke dalam cincin endomorfisme dari kelompok abelian yang mendasarinya melalui $r\mapsto (-\cdot r)$.