Kecepatan fase dalam rantai monatomik

Question

Saat mempertimbangkan rantai atom monatomik satu dimensi (massa identik $m$ & konstanta pegas $\kappa$), seseorang menemukan dispersi berikut: $$ \omega(k) = \sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, ,$$

yang mana $\frac{2\mathrm{\pi}}{a}$-berkala. Jadi gelombang lebih tinggi dari$\mathrm{\pi}/a$ tidak memberikan perilaku fisik baru.

Namun, saat menghitung kecepatan fase, seseorang menemukan: $$ v_p = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{k}\sqrt\frac{\kappa}{m}\cdot\left|\sin\left(\frac{ka}{2}\right)\right|\, .$$Artinya kecepatan fase berjalan seperti sinc, yang tidak periodik; vektor gelombang di luar zona Brioullin pertama menghasilkan kecepatan fase yang jauh lebih rendah.

Bagaimana ini mungkin? Adakah alasan yang baik untuk mempertimbangkan hanya zona Brioullin pertama untuk kecepatan fase? Atau apakah ada kesalahan lain dalam perhitungan saya?

Answer 1

Kecepatan fase agak tidak berarti di luar zona Brillouin pertama. Kecepatan fase adalah kecepatan "puncak" gelombang bergerak, tetapi di luar zona Brillouin pertama, panjang gelombang kurang dari jarak antar atom, jadi tidak ada puncak yang sebenarnya; kebanyakan "puncak" terjadi di celah antara atom-atom di mana tidak ada yang bisa dipindahkan, jadi puncak adalah semacam artefak matematika.

Sementara Anda dapat mendefinisikan fungsi kontinu untuk perpindahan atom dari posisi kesetimbangannya $u\left(x, t\right)$untuk gelombang, itu tidak berarti bahwa gelombang tersebut benar-benar kontinu; gelombang hanya memiliki perpindahan yang berarti di$x$posisi di mana ada atom. Jadi, beberapa intuisi yang datang dari gelombang dalam medium kontinu tidak benar-benar berlaku.