Kemungkinan seorang pasien menderita Penyakit $X$

Aug 18 2020

Penyakit $X$ hanya ada di $0.1$% pasien yang dites. Tesnya positif$99$% dari waktu saat pasien menderita Penyakit $X$. Jika Anda dites penyakitnya dan dites positif, maka kemungkinan Anda mengidap Penyakit itu$X$ adalah $10$%. Berapa probabilitas seseorang dites positif ketika mereka tidak mengidap Penyakit$X$?

Apa yang telah saya coba:

Membiarkan $A$ menjadi kemungkinan bahwa pasien memiliki Penyakit $X$, dan $B$ menjadi probabilitas bahwa mereka dites positif.

Kemudian $P(A)=0.001$, yang menyiratkan $P(\bar{A})=0.099$ dan $\displaystyle P(B/A)=0.99$. Sekarang kita harus menemukannya$\displaystyle P(B/\bar{A})$.

Kami juga punya di sini: $$P(B)=P(A)P(B/A)+P(\bar{A})P(B/\bar{A}).$$

Tampaknya kita dapat menerapkan teorema Bayes. Tapi saya tidak mengerti bagaimana menerapkan rumus di sini.

Jawaban

1 Jared Aug 18 2020 at 09:50

Dengan menggunakan Teorema Baye, probabilitas pengujian positif adalah:

\ mulai {ratakan *} P (\ text {penyakit} | \ teks {+ tes}) = & \ \ frac {P (\ text {+ tes} | \ text {penyakit}) P (\ text {penyakit}) } {P (\ text {+ test})} \\ P (\ text {+ test}) = & \ P (\ text {+ test} | \ text {penyakit}) P (\ text {penyakit}) + P (\ teks {+ tes} | \ teks {$\neg$penyakit}) P (\ text {$\neg$penyakit}) \\ = & \ .99 * 0,001 + 0,999x \ end {sejajarkan *}

Kami dapat menemukan $x = P(\text{+test}|\text{$\ neg$disease})$ dengan menyelesaikan persamaan berikut (Saya mencampur persentase dengan desimal):

\begin{align*} 0.1 = \frac{.99 * 0.1\%}{.99*0.1\% + 99.9\%x}\\ .0099 + 9.99x = .099 \\ x = \frac{0.0891}{9.99} \approx 0.00891891892 \end{align*}

Artinya probabilitas tes positif diberikan mereka tidak memiliki penyakit adalah kira-kira $0.89\%$.