Kepadatan dan distribusi solusi Riemann yang DIKENAL secara numerik atau analitik $\zeta(1/2 + r i)=0?$

Question

Kita tahu dugaan tentang hipotesis Riemann adalah tentang nol nontrivial aktif $$(1/2 + r i)$$ untuk beberapa $r \in \mathbb{R}$ fungsi Riemann zeta.

Pertanyaan saya adalah seberapa banyak yang diketahui tentang kepadatan dan distribusi solusi yang DIKENAL secara numerik atau analitik$$\zeta(1/2 + r i)=0?$$

Saya menemukan posting terkait tetapi sekitar 8 tahun yang lalu, jadi mungkin kami memiliki pembaruan yang lebih baik?

Kerapatan rata-rata dari nol nontrivial dari fungsi Riemann zeta

Answer 1

Menurut pendapat saya, makalah kunci adalah yang diterbitkan tahun ini $2014$oleh G.Franca dan A.LeClair . Secara khusus, mereka memberikan perkiraan yang sangat baik dan sederhana (persamaan$(229)$ di kertas terkait). $$\Im\left(r _{n}\right) \sim \frac{2 \pi \left(n-\frac{11}{8}\right)}{W\left(\frac{n-\frac{11}{8}}{e}\right)}$$ dimana $W(.)$ adalah fungsi Lambert;

Mengulangi beberapa kalkulasi mereka untuk $n=10^k$, kita punya $$\left( \begin{array}{ccc} k & \text{approximation} & \text{solution} \\ 1 & 50.233653 & 49.773832 \\ 2 & 235.98727 & 236.52423 \\ 3 & 1419.5178 & 1419.4225 \\ 4 & 9877.6296 & 9877.7827 \\ 5 & 74920.891 & 74920.827 \\ 6 & 600269.64 & 600269.68 \end{array} \right)$$

Answer 2

Mathematica 8.0.1 derivasi dari pendekatan Eric Weisstein untuk poin Gram:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*The derivation of the Gram points approximation by Weisstein in \
Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

9.6769067871658668471,
17.847836512849620314,
23.171660819240722718,
27.671198036307304064,
31.718791394674873194,
35.467863110275089697, ...

Dimodifikasi Mathematica 8.0.1 derivasi dari pendekatan Eric Weisstein yang memberikan poin Franca-LeClair:

(*Start*)
(*Mathematica*)
(*Analogous to the derivation of the Gram points approximation by \
Weisstein in Mathworld*)
Clear[x, n, a, g, t];
Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 12}]
a = Normal[Series[RiemannSiegelTheta[x], {x, Infinity, 0}]]
g = FullSimplify[(x /. Solve[a == (n + 1/2)*Pi, x])[[1]]]
n = Range[42] - 2;
t = N[g, 20]
Zeta[1/2 + I*t]
(*End*)

14.521346953065628168,
20.655740355699557203,
25.492675432264310733,
29.739411632309551244,
33.624531888500487851,
37.257370086972976394, ...

Kesulitan dasar dalam mendapatkan asimtotik yang akurat untuk Riemann zeta nol adalah bahwa fungsi theta Riemann-Siegel tidak dapat dibalik. Reun pengguna menunjukkan kepada saya bahwa asimtotik yang tepat untuk Riemann zeta nol telah dikenal selama sekitar 120 tahun dan asimtotik yang tepat adalah kebalikan fungsional dari fungsi theta Riemann-Siegel, menurut Wikipedia Perancis.