Kepadatan maksimum suatu himpunan tanpa pola tetap

Question

Pertimbangkan satu set yang terbatas $S$ dari bilangan bulat nonnegatif.

Berapa kerapatan alami maksimum dari himpunan bagian tak hingga $\mathbb{Z}$ yang tidak mengandung terjemahan apapun $S$?

Tentu, ini akan tergantung $S$, tetapi mungkin ada algoritme atau karakterisasi sederhana. Saya juga tertarik dengan pertanyaan yang sama di$\mathbb{Z}^k$.

Apakah pertanyaan-pertanyaan di atas telah diteliti dalam bentuk apapun? Saya tidak menemukan permintaan pencarian yang mengembalikan apa pun.

Answer 1

Pertanyaannya sama dengan mencari massa jenis selubung minimum $\mathbb{Z}$ dengan terjemahan dari $-S$. Masalah ini telah dipelajari untuk bilangan bulat dan juga untuk kelompok lain; lihat misalnya

Wolfgang M. Schmidt dan David M. Tuller, Meliputi dan mengemas $\mathbb{Z}^n$ dan $\mathbb{R}^n$, http://dx.doi.org/10.1007%2Fs00605-009-0099-x

Béla Bollobás, Svante Janson dan Oliver Riordan, Tentang menutupi dengan terjemahan satu set, https://doi.org/10.1002/rsa.20346