Keraguan tentang bukti Moser Iteration dalam buku Gilbarg & Trudinger

Question

Saya membaca Teorema 8.15 tentang Moser Iteration dalam monograf Gilbarg dan Trudinger. Saya memahami semua langkah dari bukti yang diberikan, tetapi saya memiliki keraguan berikut yang tidak dapat dihapuskan dengan membaca dengan cermat.

1. Penulis, sebagai hipotesis untuk teorema, membutuhkan itu $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ dan $g\in L^{q/2}(\Omega)$ untuk beberapa $q>n$ tetapi tampaknya mereka belum pernah menggunakan fakta-fakta ini di mana pun sebagai bukti: apakah demikian dan, jika tidak, dalam langkah-langkah manakah fakta-fakta ini digunakan?

2. Apakah teorema gagal $q\le n$?

Tolong bantu saya untuk memahami bukti ini sepenuhnya.

Di sini saya telah mengunggah snapshot dari teorema tersebut.

Persamaan 8.3

\ begin {persamaan} Lu = D_i (a ^ {ij} (x) D_ju + b ^ i (x) u) + c ^ i (x) D_iu + d (x) u \ end {persamaan} .

Persamaan 8.30

\ begin {persamaan} \ int _ {\ Omega} \ kiri (D_ivA ^ i-vB \ kanan) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {persamaan}

Persamaan 8.32

\ mulai {persamaan} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {persamaan}

Persamaan 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

Petunjuk Bantuan Apa Pun akan sangat dihargai

Answer 1

itu pasti membutuhkan kondisi $f^i\in L^q(\Omega)$ dan $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. Selama pembuktian, seseorang harus memilih $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(persamaan di atas (8,37)). Ini dimungkinkan jika dan hanya jika$q>\hat n$.

2. Teorema secara umum gagal $q\leq n$. Seseorang bisa mendapatkan petunjuk dari$W^{2,p}$perkiraan persamaan elips. Pertimbangkan kasus khusus,$f=0$ dan $Lu=g$ dengan $u=0$di perbatasan. Itu$W^{2,p}$ kata kasar $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ Ingat teorema embedding Sobolev, $W^{2,q/2}\in L^\infty$ jika $q>n$, sementara ini tidak benar kapan $q\leq n$.

Untuk counterexample, seseorang hanya dapat mengambil satu elemen $g\in W^{2,n/2}$ tapi tidak di $g\not\in L^\infty(\Omega)$. Kemudian$$\Delta u=\Delta g$$ punya solusi $u$ sedangkan (8,34) tidak mungkin benar.