Kesalahan terikat dalam PNT di bawah beberapa asumsi seperti RH

Question

Dalam catatan kuliah, ada latihan yang saya perjuangkan. Sini,$\psi$menunjukkan fungsi Chebychev . Saya berasumsi itu$$\psi(x)-x\in o(x^{1-\varepsilon})$$ untuk beberapa $0<\varepsilon<1/2$ (yang akan berasal dari versi yang kurang kuat dari Hipotesis Riemann, yaitu beberapa wilayah bebas-nol dari bentuk $\{\sigma>c\}$). Dengan menggunakan penjumlahan per bagian, saya menulis$$\pi(x)=\frac{\psi(x)}{\log(x)}+\int_2^x\frac{\psi(t)}{t\log^2(t)}\text{d}t,$$ yang memungkinkan saya untuk membuktikannya $$\pi(x)-\text{Li}(x)\in O(x^{1-\varepsilon}).$$

Sekarang, di sisa latihan, saya diminta untuk membuktikannya $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\notin o(x^{1-\delta})$$ untuk apapun $\delta>0$ (ini adalah pengertian $\text{Li}(x)$ adalah perkiraan yang lebih baik untuk $\pi(x)$ dari sekadar $\frac{x}{\log(x)}$). Bagaimana membuktikannya?

Jika saya berasumsi sebaliknya, yaitu, $$\pi(x)-\frac{x}{\log(x)}\in o(x^{1-\delta})$$ untuk beberapa $\delta>0$, maka saya tidak tahu kontradiksi mana yang seharusnya saya dapatkan.

Saya mencoba ketidaksetaraan klasik: $$\pi(x)\log(x)\geqslant\psi(x)\geqslant\sum_{x^{1-\eta}\leqslant p\leqslant x}\log(p)=(1-\eta)[\pi(x)+O(x^{1-\eta})]\log(x),$$tapi saya ragu itu membawa saya kemana saja. Apakah ada yang punya petunjuk / ide? Latihan tidak memberikan apapun selain beberapa hal sepele .

Answer 1

Berdasarkan apa yang Anda buktikan, kami punya $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) - \frac{x}{{\log x}} = \operatorname{Li}(x) - \frac{x}{{\log x}} + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }). $$ Sekarang, dapat ditunjukkan, menggunakan integrasi dengan bagian, itu $$ \operatorname{Li}(x) = \frac{x}{{\log x}} + \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right). $$ Karena itu, $$ \pi (x) - \frac{x}{{\log x}} = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) + \mathcal{O}(x^{1 - \varepsilon }) = \frac{x}{{\log ^2 x}} + \mathcal{O}\!\left( {\frac{x}{{\log ^3 x}}} \right) \notin o(x^{1 - \delta }). $$