Kesulitan memahami pernyataan menggunakan konsekuensi semantik meskipun mengetahui definisinya
Saya tahu konsekuensi semantik berarti bahwa semua pernyataan di kiri semuanya bisa benar (dapat memuaskan) jika sisi kanan benar. Jika sisi kanan salah, maka pernyataan di kiri tidak mungkin semuanya benar.
Ada beberapa pernyataan yang membuat saya kesulitan.
Pertama: $$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Jika saya mulai dengan kiri iff, semua pernyataan masuk akal.
Masalahnya adalah ketika saya mulai dengan sisi kanan iff dan $\Gamma$ adalah benar, $\phi$ salah, dan $\psi$adalah benar. Itu adalah pernyataan yang sah, tetapi itu membuktikan bahwa seluruh pernyataan itu salah.
Kedua: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$bisa jadi benar meski sisi kiri salah. Saya pikir ini tidak mungkin.
Ketiga:
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Jika $\Delta$ tidak dapat dipuaskan dan $\phi$ benar, jika porsinya benar dan porsi kemudian salah.
Tentunya saya salah paham jika saya terus mengalami masalah ini.
Jawaban
Saya tahu konsekuensi semantik berarti bahwa semua pernyataan di kiri semuanya bisa benar (dapat memuaskan) jika sisi kanan benar.
Tidak, bukan itu maksudnya. Justru sebaliknya: Ruas kanan benar jika semua pernyataan di sisi kiri benar. Sekarang, definisi konsekuensi semantik adalah bahwa di bawah interpretasi apa pun, baik RHS benar atau setidaknya satu pernyataan di kiri salah. Tidak diperlukan bahwa LHS benar jika RHS adalah!
Mungkin lebih mudah untuk melihatnya dari sisi negatif: Satu-satunya hal yang tidak boleh terjadi adalah semua pernyataan di LHS benar tetapi RHS salah secara bersamaan. Jika, di bawah beberapa interpretasi, RHS benar tetapi LHS tidak, tidak apa-apa. Ini khususnya berarti bahwa jika LHS tidak pernah bisa menjadi benar secara simultan (= tidak memuaskan), maka tidak ada interpretasi yang berlawanan, dan konsekuensinya berlaku dengan hampa.
(Juga lihat catatan tentang (tidak) dapat memuaskan di paragraf terakhir; penggunaan Anda di sini menunjukkan kesalahpahaman tentang apa artinya.)
$$ [\{\Gamma, \phi \} \vDash \psi] \ \ iff \ \ [\{\Gamma\} \vDash (\phi \rightarrow \psi)] $$ Jika saya mulai dengan kiri iff, semua pernyataan masuk akal.
Masalahnya adalah ketika saya mulai dengan sisi kanan iff dan $\Gamma$ adalah benar, $\phi$ salah, dan $\psi$adalah benar. Itu adalah pernyataan yang sah, tetapi itu membuktikan bahwa seluruh pernyataan itu salah.
Anda salah membaca struktur pernyataan. Anda melihat satu tugas konkret dari nilai-nilai kebenaran dan mencoba untuk melihat dari satu interpretasi itu apakah konsekuensi semantik di kiri dan kanan berlaku. Tapi bukan itu yang dikatakan: Pernyataan itu diterjemahkan menjadi
[Di bawah semua interpretasi, salah satu pernyataan di $\Gamma, \phi$ salah atau $\psi$is true]
iff
[Di bawah semua interpretasi, salah satu pernyataan di$\Gamma$ salah atau $\phi \to \psi$ adalah benar].
Artinya, pertama-tama kita perlu melihat semua interpretasi untuk menentukan apakah konsekuensi semantik berlaku, dan kemudian mengevaluasi "jika dan hanya jika". Melihat hanya satu kasus di mana$\Gamma$ adalah benar, $\phi$ false dan $\psi$ true tidak memungkinkan kita untuk membuat kesimpulan tentang apakah kedua sisi "iff" berlaku.
Kedua: $$ [\{\bot\} \vDash \psi] $$
$\psi$bisa jadi benar meski sisi kiri salah. Saya pikir ini tidak mungkin.
Lihat di atas: Ini sebaliknya; hanya disyaratkan bahwa RHS tidak mungkin salah meskipun LHS benar. Dan ini tidak akan pernah terjadi jika LHS tidak bisa menjadi benar di bawah interpretasi apa pun sejak awal, yang merupakan kasus untuk$\bot$, jadi konsekuensinya berlaku kosong.
$$ If \ [\{\Delta, \lnot \phi\} \vDash \bot]\ then \ [\{\Delta\} \vDash \phi] $$
Jika $\Delta$ tidak dapat dipuaskan dan $\phi$ benar, jika porsinya benar dan porsi kemudian salah.
Anda dapat berhenti membaca setelah "If $\Delta$ is unsatisfiable ": Maka tidak ada satupun dari LHS yang bisa menjadi kenyataan, jadi kedua konsekuensinya bertahan dengan hampa, dan" jika kemudian "dipenuhi.
Dan hanya untuk memperjelas terminologi: "$\Delta$ satisfiable / unsatisfiable "berarti bahwa adalah mungkin / tidak mungkin semua pernyataannya menjadi benar secara bersamaan di bawah interpretasi apa pun, yaitu, $\Delta$tidak kontradiktif / kontradiktif. Jika hanya kasus di bawah satu interpretasi tertentu bahwa semua / tidak semua pernyataan masuk$\Delta$ benar, maka kami tidak mengatakan itu $\Delta$memuaskan / tidak memuaskan, tetapi hanya benar / salah. Hal yang sama berlaku untuk rumus tunggal:$\phi$ benar / salah dalam penafsiran tertentu, dan dapat dipenuhi / tidak dapat dipuaskan jika setidaknya ada satu / tidak ada penafsiran yang menyatakan kebenaran itu.
Model dari $\Gamma$ di mana $\phi$ salah tidak mengatakan apa-apa tentang pernyataan itu $\{\Gamma,\phi\}\vDash\psi$: Bahwa pernyataan hanya mengatakan bahwa$\psi$ benar di setiap model $\Gamma$ dan $\phi$, yang memang terjadi jika $\phi\to\psi$ benar di setiap model $\Gamma$.