Klasifikasi lipatan halus kompak dimensi 3.

Jan 04 2021

Saya tahu klasifikasi lipatan halus dimensi kompak 2. Mereka difeomorfik ke bola dengan n "telinga" (jumlah terhubung dari n tori) atau bola dengan strip m mobius (jumlah terhubung dari m bidang proyektif nyata). Saya hanya tahu bahwa hipotesis geometris yang dibuktikan oleh Perelman mengatakan sesuatu tentang 3 lipatan, tetapi saya tidak dapat menemukan klasifikasi yang sama seperti di atas untuk lipatan halus kompak dimensi 2. Apakah ada klasifikasi sederhana yang serupa? JIKA Ya, bisakah Anda meninggalkan tautan atau menuliskannya di komentar?

Jawaban

3 MichaelAlbanese Jan 04 2021 at 21:41

Lipatan disebut prima jika kapan pun itu adalah homeomorfik ke jumlah yang terhubung, salah satu dari dua puncak adalah homeomorfik ke bola.

Dalam dimensi dua, lipatan utama tertutup adalah $S^2$, $\mathbb{RP}^2$, dan $S^1\times S^1$. Berdasarkan klasifikasi permukaan, setiap lipatan dua dimensi tertutup bersifat homeomorfik terhadap jumlah lipatan utama yang terhubung. Dalam kasus yang dapat diorientasikan, ringkasan yang terhubung bersifat unik hingga$S^2$ sumand (Anda selalu dapat menghubungkan jumlah dengan $S^2$tanpa mengubah apapun). Dalam kasus non-orientable, kami tidak lagi memiliki keunikan seperti$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ bersifat homeomorfik bagi $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$. Namun, seseorang dapat memulihkan keunikan (hingga puncak bulat) jika penggunaannya dilarang$S^1\times S^1$ perintah.

Ada cerita serupa untuk tiga lipatan tertutup. Teorema dekomposisi prima untuk lipatan tiga menyatakan bahwa setiap lipatan tiga tertutup adalah homeomorfik terhadap jumlah yang terhubung dari lipatan utama. Jika kasus yang dapat diorientasikan, ringkasan yang terhubung adalah unik hingga$S^3$perintah. Jika$M$ tidak berorientasi, maka keunikan tidak lagi berlaku, namun seseorang dapat memulihkan keunikan dengan melarang penggunaan $S^2\times S^1$ sebagai salah satu ringkasan yang terhubung.

Perbedaan utama antara dimensi dua dan tiga adalah bahwa terdapat banyak lipatan-tiga prima yang tak terhingga. Dalam kasus yang berorientasi, mereka masuk ke dalam tiga kategori:

  1. lipatan-lipatan itu ditutupi $S^3$,
  2. manifold tersebut $S^2\times S^1$, dan
  3. manifold asferis berorientasi.

Kategori ini juga dapat dikarakterisasi melalui kelompok fundamental: yaitu finite, infinite cyclic, dan infinite non-cyclic.

Namun, dalam kasus non-orientable, ada terlalu banyak lipatan utama untuk menerima klasifikasi; lihat jawaban atas pertanyaan saya ini.

Dalam dimensi empat, kita tidak lagi memiliki keunikan, bahkan dalam kasus yang berorientasi. Sebagai contoh,$(S^2\times S^2)\#\overline{\mathbb{CP}^2}$ bersifat homeomorfik bagi $\mathbb{CP}^2\#\overline{\mathbb{CP}^2}\#\overline{\mathbb{CP}^2}$. Perhatikan kesamaan fakta itu$(S^1\times S^1)\#\mathbb{RP}^2$ bersifat homeomorfik bagi $\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2\#\mathbb{RP}^2$.