Koneksi antara jumlah solusi $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ dan bidang kubik norm-Euclidean Galois

Question

Saya baru-baru ini menemukan masalah berikut:

"Temukan nilai minimum $m \in \Bbb N$ seperti yang $x^3 \equiv 1 \pmod{m}$ memiliki setidaknya $n$solusi. Perhatikan bahwa nilai$x$ itu adalah mod yang kongruen $m$ dianggap sebagai solusi yang sama. "

Saya tidak dapat menemukan pendekatan apa pun. Namun, dengan menggunakan sebuah program, saya dapat menghitung hasil berikut dan mengamati pola:

• Untuk $n \leq 3$, Terkecil $m$ dulu $7$.

• Untuk $3 <n \leq 9$, Terkecil $m$ dulu $63 = 7 \cdot 9$.

• Untuk $9 <n \leq 27$, Terkecil $m$ dulu $819 = 7 \cdot 9 \cdot 13$.

• Untuk $27 <n \leq 81$, Terkecil $m$ dulu $15561 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19$.

• Untuk $81 <n \leq 243$, Terkecil $m$ dulu $482391 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31$.

• Untuk $243 <n \leq 729$, Terkecil $m$ dulu $17848467 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37$.

• Untuk $729 <n \leq 2187$, Terkecil $m$ dulu $767484081 = 7 \cdot 9 \cdot 13 \cdot 19 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$.

Pencarian cepat dari $7, 9, 13, 19, 31, 37, 43$pada OEIS menghasilkan urutan terbatas akar kuadrat diskriminan bidang kubik norma-Euclidean Galois . Ini juga cocok dengan urutan akar kuadrat diskriminan bidang bilangan kubik Galois yang memiliki kelas ideal norma-Euclidean .

Namun, saya tidak yakin apa yang harus dilakukan karena saya baru saja mulai belajar aritmatika modular. Oleh karena itu, saya ingin bertanya: Bagaimana persamaan modular di atas dihubungkan dengan teori bilangan aljabar? Mengapa nilai$n$dibatasi oleh kekuatan tiga? Apakah ada metode yang lebih mudah untuk menemukan yang dibutuhkan$m$ diberikan $n$? Apa konsekuensi dari terbatasnya bidang?

Answer 1

Anda tidak memerlukan teori bilangan aljabar untuk menyelesaikan pertanyaan awal Anda. Teorema Sisa Cina yang selalu berguna kurang lebih adalah semua yang Anda butuhkan.

Jika $m=\prod_ip_i^{a_i}$ adalah faktorisasi prima dari $m$, lalu CRT mengatakan bahwa kita memiliki isomorfisme kelompok perkalian $$ \Bbb{Z}_m^*=\bigoplus_j\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*. $$ Anda mencari jumlah elemen pesanan $3$ (atau $1$) di grup ini. Perdana$p=2$tidak menarik. Untuk semua bilangan prima$p_i>2$ sudah diketahui umum itu $\Bbb{Z}_{p_i^{a_i}}^*$ adalah siklus keteraturan $\phi(p_i^{a_i})=(p_i-1)p_i^{a_i-1}.$

Oleh karena itu, jumlah solusi $x^3\equiv1\pmod{p_i^{a_i}}$ adalah tiga jika kita punya $p_i=3, a_i>1$, atau $p_i\equiv1\pmod3$.

Perhatikan bahwa semua faktor prima dari bilangan yang Anda temukan memenuhi kriteria ini. Bagaimanapun, kami mengamati lebih lanjut itu

• Dengan CRT jumlah solusi $x^3\equiv1\pmod m$ adalah hasil kali dari jumlah solusi dari modul kongruensi yang sama faktor daya prima $p_i^{a_i}$.
• Jadi untuk keperluan meminimalkan $m$ itu tidak ada gunanya $m$ memiliki faktor prima selain $3^2$ dan $p_i^1, p_i\equiv1\pmod3$.

Semua nomor yang Anda temukan adalah produk dari $9$ dan bilangan prima terkecil yang berbeda $\equiv1\pmod3$. Hanya itu yang ada untuk itu.