Konstanta pemisahan dari pemisahan variabel dalam PDE

Question

Saya sedang mengerjakan buku teks (Richard Haberman edisi keempat) tentang persamaan panas sebagai contoh persamaan diferensial parsial terapan. Saya tidak akrab dengan konsep konstanta pemisah dan terus muncul dalam derivasi. Maafkan saya, saya jurusan ilmu saraf bukan jurusan matematika.

Misalnya saya di bab dua, kita membahas Persamaan Laplace untuk aliran panas di permukaan persegi panjang. Kami diberi persamaan ini$$\frac{1}{h}\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=\lambda, $$

di mana \ lambda adalah nilai eigen atau konstanta pemisah dari gradien ini. Saya memahami nilai eigen dalam konteks aljabar linier (yang saya cukup pahami dengan baik) dan saya bersedia menerima bahwa fungsi adalah vektor yang diindeks tak terbatas tetapi saya masih bingung bagaimana saya bisa menarik konstanta pemisahan itu keluar dari udara. Kondisi apa yang perlu dipenuhi untuk membuat asumsi ini?

Sunting: Ini adalah halaman di teks saya ini diambil dari, mungkin ada informasi relevan yang tidak saya sertakan.

Answer 1

Intinya adalah itu

$$f(x) = \frac{1}{h }\frac{\partial^2 h}{\partial x^2}$$

tidak tergantung $y$, sementara

$$g(y)=-\frac{1}{\phi}\frac{\partial^2 u}{\partial y^2} $$

tidak tergantung $x$. Jadi Anda berada dalam situasi di mana

$$ f(x) = g(y), \ \ \ \text{for all }x, y.$$

Ini menyiratkan itu $f, g$keduanya merupakan fungsi konstan. Misalnya, pilih$y=0$, kemudian $f(x) = g(0)$ untuk semua $x$. Begitu$f(x)$adalah fungsi konstan. Mirip untuk$g$.

Jadi $f(x) = g(y) = \lambda$.