konvergensi dalam distribusi $(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$

Question

Tentukan urutan distribusi $u_n$.

Membiarkan $u_n\to u$ di $D'(X)$ dan asumsikan kami memiliki urutan $\varphi_n\in C^\infty_c(X)$ seperti yang $\varphi_n\to \varphi $ di $C_c^\infty(X)$.

Bisakah kita tunjukkan $$(u_n,\varphi_n) \to (u,\varphi)$$

Saya tahu kami bisa menunjukkan $(u_n,\phi) \to (u,\phi)$ untuk apapun $\phi\in C_c^\infty(X)$,dan $(u_n,\varphi_j) \to (u_n,\varphi)$ untuk setiap $n$Bagaimana cara menggabungkannya bersama-sama?

$$\lim_k\lim_n (u_n,\varphi_k) = (u,\varphi)$$

Tapi bukankah dua variabel yang sama persis?

Answer 1

Saya berasumsi bahwa $X$ adalah subset terbuka dari $\mathbb{R}^n$. Untuk subset ringkas apa pun$K$ dari $X$, biarkan $C_K^{\infty}(X)$ menunjukkan ruang Frechet dari semua $f \in C_c^{\infty}(X)$ seperti yang $\text{supp}(f) \subset K$.

Teorema non-trivial tentang konvergensi dalam topologi batas induktif ketat $C_c^{\infty}(X)$ menyiratkan bahwa harus ada $n_0 \geq1$ dan subset yang kompak $K \subset X$ sehingga masing-masing $\varphi_n$ dengan $n \geq n_0$ dan $\varphi$ sendiri milik $C_{K}^{\infty}(X)$ dan itu $\varphi_n \rightarrow \varphi$di ruang ini. Peta pembatasan$C_{c}^{\infty}(X)^{\ast} \rightarrow C_K^{\infty}(X)^{\ast}$ kontinu untuk topologi bintang lemah dan karenanya merupakan urutan distribusi terbatas $u_n|_{C_K^{\infty}}$ menyatu dengan distribusi terbatas $u|_{C_K^{\infty}}$ di topologi bintang lemah di $C_K^{\infty}(X)^{\ast}$.

Dengan demikian, kami telah mengurangi masalah kami untuk membuktikannya di setiap ruang Frechet $V$, untuk setiap urutan vektor yang konvergen $\varphi_n \rightarrow \varphi$ dan urutan konvergen bintang lemah dari fungsi linier kontinu $\ell_n \rightarrow \ell$, kita punya $\ell_n(\varphi_n) \rightarrow \ell(\varphi)$ di $\mathbb{C}$, sebagai $n \rightarrow \infty$.

Dengan pengurangan yang lebih mudah, itu sudah cukup untuk membuktikan hal ini dalam kasus tersebut $\varphi=0$ dan $\ell = 0$.

Ini pada gilirannya mengikuti prinsip-batasan seragam dalam ruang Frechet, seperti yang dijelaskan dalam jawaban ini . Teorema ini mengandung arti bahwa keluarga$\{\ell_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ secara otomatis sama-kontinu, artinya, diberikan apa saja $\varepsilon >0$, ada $U \subset X$ Buka, $0\in U$, jadi itu untuk semua $(n,v) \in \mathbb{N} \times U$ kita punya $|\ell_n(v)| < \varepsilon$. Jadi diberikan$\varepsilon$, pertama pilih seperti itu $U$ dan kemudian ambil $n$ cukup besar sehingga $\varphi_n \in U$.