Konvergensi yang Hampir Pasti dan Urutan Lacunary

Question

Apakah ada contoh urutan $X_n$ variabel acak sehingga untuk setiap urutan lacunary $n_k$ itu memegang itu $X_{n_k}$ konvergen hampir pasti ke $0$, tapi $X_n$ hampir pasti tidak bertemu $0$?

Sebuah urutan $n_k$ tidak beracun jika ada a $\lambda > 1$ yang seperti itu $n_{k+1} > \lambda n_k$ untuk semua $k$.

Answer 1

Ruang probabilitasnya adalah $[0,1]$dengan ukuran Lebesgue.

Membiarkan $$ X_{2^n + m} = \cases{I_{[m/n^2,(m+1)/n^2]} & if $0 \ le m <n ^ 2$ \\ 0 & otherwise.}$$ Jelas $X_n$menyimpang di mana-mana. Jika$n_k$ bersifat lacunary, maka ada nomor tetap $M$ (berhubungan dengan $\log_2 \lambda$) seperti itu paling banyak $M$ dari $n_k$ berbaring di mana saja $[2^n, 2^{n+1})$, dan himpunan di mana masing-masing bukan nol memiliki ukuran paling banyak $\frac 1{n^2}$. Jadi dengan menggunakan Borel-Cantelli Lemma kami melihatnya$X_{n_k} \to 0$ sebagai

Anda juga bisa membuat $X_n$mandiri, tetapi dengan distribusi yang sama. Kemudian Anda bisa menunjukkannya$X_n$ menyimpang menggunakan Borel-Cantelli Lemma kedua.

Answer 2

Karena jawaban yang diterima menjelaskan, lemma Borel Cantelli membuat ini setara dengan pertanyaan yang jauh lebih mudah untuk menemukan urutan $p_k\ge 0$ yang tidak dapat diringkas tetapi sehingga setiap urutan lacunary dapat diringkas.

Misalnya, ambil $p_t$ menjadi fungsi penurunan dengan $\sum_{k=1}^{\infty}p_{k}=\infty$, Suka $p_t = 1/t$ untuk $t\in \mathbb{R}_{+}$. Membiarkan$X_n$ menjadi urutan Bernoulli independen $(p_n)$variabel acak. Kemudian$\sum_{k=0}^\infty \mathbb{P}(X_k> 0) = \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{k} = \infty$, hampir pasti, urutan ini akan terjadi $1$ sangat sering (demikian pula, itu akan terjadi $0$sangat sering juga). Oleh karena itu, dengan probabilitas$1$, itu tidak menyatu. Di sisi lain, untuk setiap urutan lacunary$n_k$, akan ada beberapa $\lambda > 1$ yang seperti itu $n_k > \lambda^k n_1$. Karena itu,

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\mathbb{P}(X_{n_{k}} > 0) = \sum_{k=1}^{\infty}p_{n_{k}}\le \sum_{k=1}^{\infty}p_{\lambda^{k}n_{1}} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_{1}\lambda^{k}} < \infty $$ dan kemungkinan itu $X_{n_{k}} > 0$ sering kali $0$ oleh Borel Cantelli, dan urutannya menyatu $0$ hampir pasti.