Korespondensi antara representasi $SL(2,\mathbb{C})$dan dari $\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$

Question

Untuk Grup Kebohongan$SL(2,\mathbb{C})$pertimbangkan representasi yang didefinisikan oleh

$\begin{equation}\Pi_1:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A\end{equation}$

dan

$\begin{equation}\Pi_2:SL(2,\mathbb{C})\to GL(2,\mathbb{C}), A\mapsto A^*\end{equation}$

Di mana$A^*$adalah kompleks unsur terkonjugasi dari$A$. Sejauh yang saya tahu keduanya tidak dapat direduksi dan tidak isomorfik.

Di sisi lain kedua representasi sesuai dengan representasi kebohongan-aljabar yang unik dari$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$dari dimensi 2,$\pi_1,\pi_2$. Sekarang hanya ada satu representasi kebohongan-algbera dari$\mathfrak{sl}(2,\mathbb{C})$dari dimensi 2, hingga isomorfisme.

Karenanya$\pi_1\cong \pi_2$. Teorema lain mengatakan bahwa$\pi_1$dan$\pi_2$adalah isomorfik jika dan hanya jika$\Pi_1$dan$\Pi_2$bersifat isomorfik.

Tetapi$\Pi_1 \not\cong \Pi_2$.

Pertanyaan saya adalah di mana tepatnya kesalahannya. Apakah saya melewatkan sesuatu yang jelas? Langkah mana yang salah dan mengapa?

Answer 1

Jika Anda benar-benar membedakan$\Pi_2$Anda akan menemukan secara langsung bahwa Anda tidak mendapatkan representasi yang kompleks dari$\mathfrak{sl}_2(\mathbb{C})$, jadi teorema yang Anda kutip mengklasifikasikan representasi tersebut tidak berlaku. Seperti yang dikatakan Moishe di komentar, perbaikannya adalah hanya mempertimbangkan representasi holomorfik, yang$\Pi_2$tidak.