Koset kiri dari $H$ di $G$ partisi $G$

Question

Membiarkan $G$ menjadi grup dan $H$sebuah subkelompok. Kemudian koset kiri dari$H$ di $G$ partisi $G$. Secara khusus,$(1)$ setiap $a$ ∈ G tepat berada di satu koset kiri, yaitu $aH$, dan $(2)$ jika $a, b \in G$, lalu salah satunya $aH = bH$ atau $aH \cap bH = \emptyset $.

Bagian $(2)$dilakukan. Masalah saya sebagian$(1)$, Saya mencoba ini tetapi tidak terlalu yakin:

Membiarkan $a\in G$, kami punya itu $e\in H$, jadi $a\in aH$, sejak $a=ae$. Ini menunjukkan itu$a$ terletak di beberapa koset kiri, yaitu $aH$.

Sekarang jika $a\in aH$ dan $a\in bH$, kami punya itu $a=ae=abh$, jadi $bh=e$ dan dengan demikian $a$ terletak tepat di satu koset kiri.

Apakah saya benar?

Answer 1

Dengan asumsi Anda membuktikan (2) saya melanjutkan:

$\mathbf{Theorem 1:}$ Untuk $a,b \in G$ buktikan itu $aH=bH$ iff $a^{-1}b \in H$.

$\mathbf{Theorem 2:}$ Untuk $a,b \in G$ buktikan itu $b \in aH$ iff $a^{-1}b \in H$

Maka kondisi berikut setara: $$b \in aH \equiv a^{-1}b \in H \equiv aH=bH$$ Sejak $e \in H, a=ae \in aH$. Membiarkan$a \in bH$. Kemudian$aH=bH$. Jadi$a$ milik tepat satu coset kiri.