Latihan Herstein: Sebuah subkelompok dari grup terbatas G sedemikian rupa $|G| \nmid i_G(H)!$ harus mengandung subgrup normal non-sepele.

Question

Ini adalah masalah 'Lebih Sulit' 40 dari Abstrak Aljabar (1996) oleh Herstein. Saya hanya tidak bisa memikirkan bagaimana melakukan ini. padahal saya menemukan postingan yang sangat mirip . Berikut ini adalah pernyataan verbatim dari pertanyaan tersebut.

Jika $G$ adalah kelompok terbatas, $H$ sebuah subkelompok $G$ seperti yang $n \nmid i_G(H)!$, dimana $n=|G|$, buktikan bahwa ada subkelompok yang normal $N \neq (e)$ dari $G$ terkandung di $H$.

NB Saya telah terjebak dalam hal ini selama sekitar seminggu, dan sekarang saya menyerah, jadi saya sangat menghargai solusinya, tetapi saya dengan rendah hati memohon Anda untuk memberi saya petunjuk sebagai gantinya sehingga saya dapat membunuh masalah ini ( semacam) sendiri, meskipun terus terang, saya sudah putus asa.

Answer 1

Seandainya $H$ memiliki indeks $n$ di $G$. Tindakan pada (kanan, katakanlah) koset dari$H$ menginduksi homomorfisme $\phi:G\to S_n$, dan inti dari peta ini, inti dari$H$ di $G$, adalah subgrup normal terbesar dari $G$ terkandung di $H$. Jadi inti adalah non-sepele jika dan hanya jika subkelompok$N$ Anda membutuhkan ada, jadi biarkan $N$menunjukkan inti ini. Sejak$G/N$ isomorfik ke subkelompok $S_n$, $|G/N|\mid n!$. Tapi$|G|\nmid n!$, dan oleh karena itu $|N|>1$.