Lemma 4.2 Hartshorne IV
Pertanyaan yang saya miliki adalah berkaitan dengan bukti yang diberikan dalam lemma 4.2 Hartshorne IV. Membiarkan$X$ menjadi kurva elips dan $P,Q\in X$menjadi poin tertutup. Seseorang dapat menunjukkan bahwa sistem linier$|P+Q|$ memiliki dimensi 1 dan bebas dari titik dasar, dan dengan demikian menyebabkan morfisme $g:X \rightarrow \mathbb{P}^1$ derajat 2.
Kebingungan saya muncul dari apa yang diklaim Hartshorne setelahnya: dia sepertinya menyiratkan bahwa setiap serat $g$adalah kardinalitas dua (termasuk titik percabangan). Pemahaman saya tentang 'derajat morfisme' adalah jika$\deg g =2$, lalu dimensi ekstensi bidang $[K(X): K(\mathbb{P}^1)]=2$. Bagi saya tampaknya Hartshorne menyimpulkan bahwa setiap serat$g$ maka harus memiliki serat kardinalitas 2.
Bagaimana Hartshorne menggunakan ini untuk menyimpulkannya? Saya hanya memiliki sedikit ide bagaimana memulai dan petunjuk / bantuan yang diberikan akan sangat dihargai!
Jawaban
$\newcommand{\Frac}{\mathrm{Frac}}$$\ newcommand {\ Spec} {\ mathrm {Spec}} $ Berikut adalah cara sederhana untuk memahami apa yang terjadi.
Kami memiliki pengamatan sederhana berikut:
Pengamatan: Misalkan kita memiliki penyertaan domain integral $ A \ hookrightarrow B $ sedemikian rupa sehingga $ B $ adalah $ A $ -module terbatas. Kemudian,
$$ \ mathrm {peringkat} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
Bukti: Perhatikan bahwa kita memiliki isomorfisme alami $ \ mathrm {Frac} (A) $ -algebras
$$ B \ otimes_A \ text {Frac} (A) \ cong \ mathrm {Frac} (B) $$
Memang, kami memiliki peta alami $ B \ otimes_A \ mathrm {Frac} (A) \ to \ Frac (B) $ yang berasal dari penyertaan $ A $ -algebras $ B \ hookrightarrow \ Frac (B) $ dan $ \ Frac (A) \ hookrightarrow \ Frac (B) $ . Peta ini adalah inklusi sejak kita memilikinya
$$ 0 \ to \ mathrm {Frac} (A) \ to \ mathrm {Frac} (B) $$
adalah urutan tepat dari $ A $ -modules dan dengan demikian, karena $ B $ adalah $ A $ -flat, ini menyebabkan penyertaan
$$ 0 \ hingga B \ otimes_A \ Frac (A) \ hingga B \ otimes_A \ Frac (B) $$
Tapi, ternyata $ B \ otimes_A \ Frac (B) = \ Frac (B) $ .
Jadi, kita melihat bahwa $ B \ otimes_A \ Frac (A) $ adalah domain yang berisi $ B $ dalam $ \ Frac (B) $ . Ini kemudian bidang karena ini adalah domain integral yang terbatas sebagai $ \ Frac (A) $ -vector space, dan kemudian menggunakan argumen biasa (misalnya lihat bagian bawah [1]). Tapi, itu adalah subbidang dari $ \ Frac (B) $ berisi $ B $ , dan sama dengan $ \ Frac (B) $ .
Karena $ B $ adalah modul gratis terbatas, kami melihatnya
$$ \ mathrm {peringkat} _A (B) = \ dim _ {\ Frac (A)} (B \ otimes_A \ Frac (A)) = \ dim _ {\ Frac (A)} \ Frac (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
seperti yang diinginkan $ \ blacksquare $
Mengapa ini membantu kami? Nah, perhatikan bahwa jika $ g: C \ ke D $ adalah peta non-konstan kurva integral geometris proyektif halus di atas $ F $ ( $ F $ adalah bidang apa pun) maka $ g $ datar berhingga. Keduanya dapat diperiksa di atas $ \ overline {F} $ , jadi kami menganggap ini. Keterbatasan mungkin memerlukan sedikit kerja keras (misalnya, berikut ini adalah bukti yang berlebihan: itu tepat karena $ C $ dan $ D $ adalah, dan kuasi-terbatas karena $ C $ memiliki topologi yang sama dan $ g $ tidak konstan - itu mengikuti kemudian dari teorema utama Zariski). Kerataan itu mudah karena $ g $ bersifat surjective (karena $ g (C) $ adalah subset tertutup yang tidak dapat direduksi yang bukan merupakan titik) dan perkiraan skema Dedekind adalah datar (misalnya lihat [2, Proposisi 3.9]).
Jadi, kita melihat bahwa jika $ \ Spec (B) $ adalah subset terbuka affine dari $ D $ lalu $ g ^ {- 1} (\ Spec (B)) = \ Spec (A) $ untuk beberapa affine open subset $ \ Spec (A) $ dari $ C $ . Tetapi, dengan asumsi kita, kita tahu bahwa $ A $ dan $ B $ keduanya merupakan domain integral dan peta $ A \ ke B $ bersifat injeksi (karena $ \ Spec (A) \ to \ Spec (B) $ dominan). Selain itu, dengan menyusutkan lebih lanjut kita dapat mengasumsikan bahwa $ B $ adalah $ A $ -module gratis (misalnya karena $ B $ datar terbatas, secara lokal gratis di atas $ A $ - misalnya lihat [3, Tag02KB]) Jadi, oleh lemma kami, kami memiliki itu
$$ \ mathrm {peringkat} _A (B) = [\ Frac (B): \ Frac (A)] $$
Tapi, perhatikan bahwa $ \ Frac (B) = K (D) $ dan $ \ Frac (A) = K (C) $ . Jadi, kami melihat itu
$$ \ mathrm {peringkat} _A (B) = [K (D): K (C)] $$
Tetapi, jika $ p $ adalah titik mana pun dari $ \ Spec (B) $ , yang berhubungan dengan bilangan prima $ \ mathfrak {p} $ dari $ B $ , maka kita tahu bahwa
$$ g ^ {- 1} (p) = \ Spec (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) $$
Jadi, mudah untuk melihatnya
$$ \ # g ^ {- 1} (p) \ leqslant \ dim_ {A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}} (B \ otimes_A A_ \ mathfrak {p} / \ mathfrak {p}) = \ mathrm {peringkat} _A (B) = [K (D): K (C)] $$
Jadi, secara ringkas, di atas menunjukkan bahwa jika Anda memiliki peta kurva yang tidak konstan $ g: C \ ke D $ maka ukuran serat (katakanlah di atas titik tertutup) dibatasi oleh $ [K (D) : K (C)] $ dan, pada kenyataannya, jika Anda mendefinisikan 'ukuran' sebagai dimensi rata-rata dari bagian global di atas $ F $ (di mana kami mengasumsikan bahwa $ F $ ditutup secara aljabar untuk kesederhanaan) adalah tepat $ [K (D) : K (C)] $ --dengan kata lain, jika Anda menemukan ukuran serat 'dengan banyaknya' akun untuk nilpoten (yaitu percabangan $ g $ ) maka ukuran serat tepatnya $ [K (D): K (C) ] $ .
[1] Homomorfisme $ k $ -algebras menginduksi homomorfisme spektrum maksimal
[2] 刘 擎 (Qing Liu), 2002. Geometri aljabar dan kurva aritmatika (Vol. 6). Oxford University Press on Demand.
[3] Berbagai penulis, 2020. Proyek tumpukan .https://stacks.math.columbia.edu/