Lemma untuk membuktikan keberadaan bilangan prima yang tak terbatas
Masalah ini berasal dari Pengantar Struktur Matematika dan Pembuktian Gerstein . Bagian b dari masalah ini adalah untuk memberikan bukti tertentu bahwa ada banyak bilangan prima yang tak terhingga banyaknya. Saya prihatin dengan bagian a, lemma yang diperlukan. Bagian a menyatakan:
Tunjukkan jika $n \ge 3$ lalu ada bilangan prima p yang memuaskan $n \lt p \le n!-1$.
Ada petunjuk:
"Pertimbangkan pembagi utama p dari $(n-1)!-1$. Mengapa p ada? "
Inilah upaya saya mencari solusi:
p ada karena setiap bilangan bulat memiliki pembagi prima. Untuk bilangan prima k-th$p_k$, definisikan
$p_k!!=\Pi_{i=1}^{k} p_i$ dimana $p_i$ adalah bilangan prima ke-i.
Simbol p menunjukkan pembagi utama dari $(n-1)!-1$. Dugaan saya adalah itu$p!!+1$adalah bilangan prima. Kami hanya perlu menunjukkan bahwa itu berada dalam kisaran yang diperlukan.
Masuk akal (meskipun saya belum membuktikannya) untuk menganggap itu $p!!+1 > n$.
$p!!$adalah hasil kali kurang dari n bilangan bulat, yang masing-masing kurang dari atau sama dengan p, yang dari atau sama dengan n. Begitu$p!!+1\le n!-1$ dan bukti yang diklaim, seperti itu, akan lengkap.
Apakah ada gunanya argumen ini? Jika tidak, bagaimana proposisi tersebut dapat didemonstrasikan?
Jawaban
$13!!+1=30031=59\cdot509$ bukan bilangan prima, jadi argumennya tidak bisa berhasil.
Namun, memang benar itu $n!-1$ memiliki pembagi utama $p$, dan jelas $p\le n!-1$, jadi kami hanya perlu menunjukkan itu $p>n$. Sejak$p\mid n!-1$, jelas $p\not\mid n!$; tetapi setiap bilangan bulat positif$\le n$ membagi $n!$, jadi $p$ tidak bisa $\le n$. Jadi, kita harus punya$n<p\le n!-1$.